MathemaTeX

de **paspythagore** le Jeudi 25 Février 2010, 10:21

Bonjour,

j'ai exemple dans mon cours, pour illustrer le théorème de Dirichlet aprés les séries de Fourier et je ne comprends pas.

Soit la fonction de période $2 \pi$ sur $\mathbb{R}$ telle que $g(t) = \vert t \vert$ pour $\vert t \vert \leq \pi$

Alors : $[SF(g)](t) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{4}{\pi} \ds\sum^{+ \infty}_{n=0} \dfrac{cos (2n + 1)t}{(2n + 1)^2^}$

Merci de votre aide.

de OG le Jeudi 25 Février 2010, 10:56

Il faut vérifier si

rentre ou non dans le cadre du théorème de Dirichlet
et ensuite calculer les coefficients de Fourier de la fonction

?

O.G.

de **paspythagore** le Jeudi 25 Février 2010, 23:07

Honnêtement, je ne comprends rien. La fonction vérifie les hypothèses du th. de Dirichlet (périodique et continue par morceaux ?) et après je ne sais ni ce qu'on cherche, ni comment on le trouve.

de OG le Jeudi 25 Février 2010, 23:29

Le théorème de Dirichlet affirme (grosso modo) que sous certaines hypothèses sur

alors la série de Fourier associée à

converge vers

(en fonction de la régularité de

simplement, uniformément). Tu as quelques explications
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
(voir les applications notamment, qui sont capitales et en font un outil capitale
en analyse (de Fourier))

Grosso modo, pour les fonctions périodiques, il est plus naturelle de l'approcher
par une série de fonctions périodiques plutôt qu'une série entière.

Donc ici, tu cherches la régularité de

, et tu calcules les coefficients de Fourier (c'est
juste un calcul, enlever la valeur absolue, tu auras du $x\sin(nx)$ , $x\cos(nx)$ ...
et boum le théorème te donne un résultat de convergence sur cette série (de fonctions).

O.G.

de **paspythagore** le Vendredi 26 Février 2010, 21:16

Merci,
l'explication de Wikipédia me paraît simple.

Pour le cacul, je ne trouve pas, j'ai :

g(t) = g(-t) = |t|

la fonction est paire (pas de sinus)

$c_n = \int_\pi^{-\pi} |t| e^\frac{-i 2 \pi n t}{2 \pi} dt \\ = \dfrac{1}{2 \pi} [ \dfrac{t^2}{2} \left( \dfrac{e^{-i(n+1)t}}{n + 1} \right) ]^\pi_{-\pi} \\ = \dfrac{1}{2 \pi} \dfrac{2 \pi^2}{2} \dfrac{e^{-i(n+1)t}}{n + 1} \\ = \dfrac{\pi}{2} \dfrac{e^{-i(n+1)t}}{n + 1}$

Et ma SF :
$SFg = \ds\sum_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{\pi}{2} \dfrac{e^{-i(n+1)t}}{n + 1} \dfrac{e^{-i 2\pi nt}}{2 \pi} \\ = \ds\sum_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{\pi}{2} \dfrac{e^{-i(n+1)t}}{n + 1} e^{-i nt} \\ = \dfrac{\pi}{2} \ds\sum_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{e^{-i t}}{n + 1}$

Avec $e^{-i t} = cos t - i sin t$ ,

j'obtiens :

$\dfrac{\pi}{2} \ds\sum_{-\infty}^{+ \infty} \dfrac{cos t}{n + 1} t$

Comme je n'ai pas compris ce résultat est faux et cumule les erreurs.

de OG le Vendredi 26 Février 2010, 23:32

Tu es tombé dans le piège "valeur absolue". Pour intégrer, dériver des termes avec
des valeurs absolues, il faut d'abord les enlever en se plaçant sur les sous intervalles
où le signe des termes en valeurs absolues est constant et connu.
Un exemple
$\int_{-1}^1 |t| dt=\int_{-1}^0 |t| dt + \int_0^1 |t|dt=-\int_{-1}^0 t dt + \int_0^1 t dt = 1/2+1/2=1$

O.G.

de **paspythagore** le Samedi 27 Février 2010, 00:21

Merci, je recommence demain.

de **paspythagore** le Samedi 27 Février 2010, 11:31

Bonjour,

j'ai retenté le début de l'exercice, mais ça ne m'a pas l'air juste. Est ce que quelqu'un aurait la patience de me corriger.

Calcul de c_n

$c_n = \dfrac{1}{2 \pi} \ds\int_\pi^{-\pi} |t| e^\frac{-i 2 \pi n t}{2 \pi} dt \\ = \dfrac{1}{2 \pi} \ds\int_\pi^{-\pi} |t| e^{-i n t}dt \\ = \dfrac{1}{2 \pi} \left[ \ds\int^0_{-\pi} |t| e^{-i n t}dt + \ds\int_0^{\pi} |t| e^{-i n t}dt \right] \\ = \dfrac{1}{2 \pi} \left[ -\ds\int^0_{-\pi} t e^{-i n t}dt + \ds\int_0^{\pi} t e^{-i n t}dt \right]$

En intégrant par parties, j'obtiens :

$c_n = \dfrac{1}{2 \pi} \left( - \dfrac{\pi e^{-i n \pi}}{n} - \dfrac{\pi e^{-i n \pi}}{n^2} \right) \\ = \dfrac{1}{2 \pi} e^{-i n \pi} \left( - \dfrac{ \pi}{n} - \dfrac{1}{n^2} \right)$

de **kojak** le Samedi 27 Février 2010, 13:45

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi tu calcules les c_n

et pas directement les a_n

alors que ta fonction est paire.

Je n'ai pas regardé tes calculs...

de **paspythagore** le Samedi 27 Février 2010, 14:16

Bonjour,

Je ne comprends pas pourquoi tu calcules les c_n et pas directement les a_n

C'est pour faire un peu de gymnastique et espérer assimiler le cours.

de **kojak** le Samedi 27 Février 2010, 16:42

paspythagore a écrit:C'est pour faire un peu de gymnastique et espérer assimiler le cours.

Oui, c'est vrai, le calcul ne fait jamais de mal :mrgreen:

Il y a un pâté dans ton calcul. Le début est correct, mais ça doit être dans ton intégration par partie : il ne devrait plus y avoir de $\dfrac{1}{n}$ et que vaut $e^{-in\pi}$ : ça se simplifie ça.

de OG le Samedi 27 Février 2010, 17:56

J'ajoute que pour n=0

il faut faire le calcul à part, 1/0

est dangereux !
Ensuite une fois obtenue les valeurs de c_n

il doit y avoir une recombinaison
des cos, sin, etc, pour retomber sur la formule de ton 1er post.
bon courage
là j'ai un osso-bucco à faire plutôt que les calculs.

O.G.

de **paspythagore** le Samedi 27 Février 2010, 18:11

Merci et bon appétit.

de **paspythagore** le Dimanche 28 Février 2010, 21:40

Bonsoir,

j'ai éssayé d'intégrer $\ds\int^\pi_0 t e^{-int} dt$

En prenant $g(t) = t, g'(t) = 1, f(t) = - \dfrac{e^{-int}}{n} et f'(t) = e^{-int}$

j'effectue l'intégration par parties :

$\ds\int f'g = [ fg ] - \ds\int fg' \\ = \left[ - \dfrac{te^{-int}}{n} \right]^\pi_0 - \ds\int^\pi_0 - \dfrac{e^{-int}}{n} dt \\ = -\dfrac{\pi e^{-int}}{n} + \dfrac{\pi}{n} - \left[ \dfrac{e^{-int}}{n^2} \right]^\pi_0 \\ = -\dfrac{\pi e^{-int}}{n} + \dfrac{\pi}{n} - \dfrac{e^{-in\pi}}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}$

Je ne trouve pas mes erreurs. Merci de votre aide.

de OG le Dimanche 28 Février 2010, 21:49

Bonsoir

primo, $f(t)=-\frac{e^{-int}}{in}$ .
secondo, pour $[fg]_0^\pi$ pourquoi te reste-il des

?

O.G.

de **paspythagore** le Dimanche 28 Février 2010, 21:58

primo, $f(t)=-\frac{e^{-int}}{in}$ .

j'ai oublié le "i"

secondo, pour $[fg]_0^\pi$ pourquoi te reste-il des ?

J'ai mal recopié.

Ca donnerai :

$\ds\int f'g = [ fg ] - \ds\int fg' \\ = \left[ - \dfrac{te^{-int}}{in} \right]^\pi_0 - \ds\int^\pi_0 - \dfrac{e^{-int}}{in} dt \\ = -\dfrac{\pi e^{-int}}{in} + \dfrac{\pi}{in} - \left[ \dfrac{e^{-int}}{-n^2} \right]^\pi_0 \\ = -\dfrac{\pi e^{-int}}{in} + \dfrac{\pi}{in} + \dfrac{e^{-in\pi}}{n^2} - \dfrac{1}{n^2}$

de OG le Dimanche 28 Février 2010, 22:06

pour

il me semble que la fonction $te^{-int}$ est nulle, non ?
N'oublie pas de dire $n\neq 0$ .

O.G.

de **paspythagore** le Dimanche 28 Février 2010, 22:14

Pour $n \neq 0$ , on obtient : $-\dfrac{\pi e^{-int}}{in} + \dfrac{e^{-in\pi}}{n^2} - \dfrac{1}{n^2}$ ?

de OG le Dimanche 28 Février 2010, 22:32

sachant que $\cos(n\pi)=(-1)^n$ (

entier) cela peut encore se simplifier
selon

pair,

impair (c'est pour cela que dans ton 1er message, la série ne concerne
que les 2n+1

(les impairs))

O.G.

de **paspythagore** le Mercredi 03 Mars 2010, 18:16

Bonjour,
malgré ton aide, c'est toujours laborieux.

$-\dfrac{\pi e^{-int}}{in} + \dfrac{e^{-in\pi}}{n^2} - \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{-\pi (cos nt - i sin nt)}{in} + \dfrac{cos n \pi}{n^2} - \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{-\pi (cos nt)}{in} + \dfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$

MathemaTeX

Séries trigonométriques

Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Re: Séries trigonométriques

Qui est en ligne