MathemaTeX

de **paspythagore** le Dimanche 21 Mars 2010, 13:20

Bonjour,

j'ai du mal à terminer cet exercice sur les probabilités.

On a chaussettes marrons et chaussettes noires. Quel est la probabilité d'avoir paires dépareillées avec pair et $k < \min(m, n)$

Il y a $\dbinom{2m}{2m + 2n} = \dbinom{2n}{2m + 2n}$ cas possibles.

Après ça se complique, la première chaussette tirée a une probabilité de

d'être la bonne mais la deuxième, elle a une probabilité de $\dfrac{2m}{2m + 2n -1}$ d'être la bonne si la première est noire et une probabilité de $\dfrac{2n}{2m + 2n -1}$ si la première est marron et ce modèle doit être reproduit

fois.

J'ai du mal, pourriez vous m'aider.

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 14:53

doit nécessairement être un entier pair ?

FP.

de **paspythagore** le Dimanche 21 Mars 2010, 15:10

Oui sinon la probabilité est nulle.

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 15:22

paspythagore a écrit:Oui sinon la probabilité est nulle.

Ah bon ? La probabilité d'avoir

paire dépareillée est nulle ?

FP.

de **paspythagore** le Dimanche 21 Mars 2010, 16:24

Ben oui, j'ai du mal à le démontrer, mais si on a une seule paire dépareillée, on va se retrouver avec un nombre impairs de chacune des

sortes chaussettes : donc on va reconstituer une deuxième paire dépareillée.

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 16:46

paspythagore a écrit:Ben oui, j'ai du mal à le démontrer, mais si on a une seule paire dépareillée, on va se retrouver avec un nombre impairs de chacune des sortes chaussettes : donc on va reconstituer une deuxième paire dépareillée.

Bon, alors j'ai mal compris l'exercice.

Questions :

Les chaussettes noires sont-elles indiscernables entre elles ?
Les chaussettes marron sont-elles indiscenables entre elles ?
Quelle est l'expérience réalisée ? On tire chaussettes ? Autre chose ?

FP

de **paspythagore** le Dimanche 21 Mars 2010, 16:57

Bonjour,

Questions :

* Les

chaussettes noires sont-elles indiscernables entre elles ?

OUI elles sont indiscernables.

* Les

chaussettes marron sont-elles indiscernables entre elles ?

OUI elles sont indiscernables.

* Quelle est l'expérience réalisée ? On tire

chaussettes ? Autre chose ?

On tire les chaussettes une par une et on les groupe par paires, jusqu'à ce qu'il n' y en ait plus. On cherche la probabilté pour chaque entier

d'avoir exactement

paires dépareillées.

J'espère que c'est plus clair.

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 17:20

Oui, c'est beaucoup plus clair.

Une dernière chose me chiffonne : vous êtes sûr de $k<\min(m,m)$ ? Par exemple, si m=n=1

, on a donc 2 chaussettes noires et 2 chaussettes marron. On peut parfaitement obtenir 2 paires dépareillées, donc $k=2>1=\min(m,n)$ :?:

FP.

de **paspythagore** le Dimanche 21 Mars 2010, 17:23

Non, pardon, j'ai oublié le

: $k \leq 2 \min(m,n)$

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 19:43

OK.

Pourquoi dites-vous qu'il y a $\dbinom{2m+2n}{2m}$ cas possibles ?

FP.

de **paspythagore** le Dimanche 21 Mars 2010, 19:58

C'est une des choses que je n'ai pas compris : je voulais choisir

chaussettes parmi les 2m + 2n

. Comme elles ne sont différentiables que par leurs 2 couleurs, il y aurait plutôt, $2^{min(m,n)}$ choiX possibles ?

de **Tonn83** le Dimanche 21 Mars 2010, 20:04

Déjà il faut comprendre l'énoncé d'un problème avant d'essayer de le résoudre :!:

On tire

chausettes parmi 2m+2n

chausettes et

peut être impair. La question est de savoir si on dispose de

paire de chausettes ou non.
Une indication : on a tiré q<2k

chausettes marron. Combien de chausettes noires a-t-on tiré :?:

Quelle condition faut_il imposer sur

pour pouvoir regrouper les

chausettes par paire :?:

Comment conclure :?:

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 20:24

Tonn83 a écrit::mrgreen: Déjà il faut comprendre l'énoncé d'un problème avant d'essayer de le résoudre On tire chausettes parmi chausettes et peut être impair. La question est de savoir si on dispose de paire de chausettes ou non.
Une indication : on a tiré chausettes marron. Combien de chausettes noires a-t-on tiré Quelle condition faut_il imposer sur pour pouvoir regrouper les chausettes par paire Comment conclure

Heu, relire le message de paspythagore de 15 h 57 qui précise l'énoncé.

est pair. ET, si j'ai bien compris, on ne regroupe pas les

chaussettes par paire, mais on tire deux chaussettes : 1re paire ; on tire 2 autres chaussettes : 2e paire, etc.

FP.

de **Tonn83** le Lundi 22 Mars 2010, 02:52

Paspythagore écrit :

paspythagore a écrit:On tire les chaussettes une par une et on les groupe par paires, jusqu'à ce qu'il n' y en ait plus. On cherche la probabilté pour chaque entier d'avoir exactement paires dépareillées.

Donc, déjà

désigne bien le nombre de paires de chausettes, sommes-nous d'accord ? Sinon, je crains de ne pas trop comprendre. Veux-du dire la chose suivante?

On dispose d'une séquence $(x_i)_{1\leq i\leq 2m+2n}$ d'entiers modulo 2, avec 2m égaux à 0 et 2n égaux à 1. La question est de savoir combien il y a de telles suites avec exactement paires telles que et ont des parités opposées. Soit ce nombre. La probabilité recherché est $N_q/4^{n+m}$ .

Donc effectivement,

doit être pair, et inférieur à

et

. On pose

. Heu ...

Bon, d'accord, jusqu'à pésent, tout cela ne t'aide pas beaucoup. :lol:

Il faut que tu calcules N_q

. Avant même de me lancer dans les calculs, j'affirme que ce nombre est divisible par $2^{m+n}$ . Vois-tu pourquoi ?

@ fp : Le plus difficile était de comprendre l'énoncé. En général, je range mes chaussettes par paire en les enroulant l'une dans l'autre. Le problème est quand même un peu tordu je trouve.

de fp le Lundi 22 Mars 2010, 08:22

Tonn83 a écrit:Paspythagore écrit :
paspythagore a écrit:On tire les chaussettes une par une et on les groupe par paires, jusqu'à ce qu'il n' y en ait plus. On cherche la probabilté pour chaque entier d'avoir exactement paires dépareillées.

Donc, déjà désigne bien le nombre de paires de chausettes, sommes-nous d'accord ? Sinon, je crains de ne pas trop comprendre. Veux-du dire la chose suivante?
On dispose d'une séquence $(x_i)_{1\leq i\leq 2m+2n}$ d'entiers modulo 2, avec 2m égaux à 0 et 2n égaux à 1. La question est de savoir combien il y a de telles suites avec exactement paires telles que et ont des parités opposées. Soit ce nombre. La probabilité recherché est $N_q/4^{n+m}$ .

Juste un point de détail : les

paires sont de la forme (2j-1,2j)

puisque l'indice de départ de la séquence (x_i)

est 1 (donc impair). Ça ne change rien fondamentalement.

Donc effectivement, doit être pair, et inférieur à et . On pose . Heu ... Bon, d'accord, jusqu'à pésent, tout cela ne t'aide pas beaucoup. Il faut que tu calcules . Avant même de me lancer dans les calculs, j'affirme que ce nombre est divisible par $2^{m+n}$ . Vois-tu pourquoi ?

@ fp : Le plus difficile était de comprendre l'énoncé. En général, je range mes chaussettes par paire en les enroulant l'une dans l'autre. Le problème est quand même un peu tordu je trouve.

Je suis d'accord. C'est bien la raison pour laquelle j'ai demandé de préciser l'énoncé.
En tout cas, votre réécriture de l'énoncé clarifie (à mon avis) les choses.

FP.

de **paspythagore** le Lundi 22 Mars 2010, 22:33

Merci de votre aide,

mais je suis encore loin du compte.

Ce que je n'arrive pas à comprendre, mais si ça n'a rien avoir avec la reformulation et les questions de Tonn83. c'est que par tirage (regroupement de

chaussettes) il y a

choix possibles :

chaussettes marrons,

chaussettes noires ou une paire dépareillée jusqu'à épuisement d'une des couleurs et à partir de là, il m'est impossible de conclure. Je retourne à la solution de Tonn83.

Bonne soirée.

de **paspythagore** le Mardi 23 Mars 2010, 14:43

Bonjour,

avec votre aide je vais tenter quelque chose. Soyez indulgent :

$\ds\prod_{(m, n)=(0, 0)}^{(r, r)} \dfrac{2m}{2m + 2n}\dfrac{2n}{2m + 2n}$ possibilités.

de fp le Mardi 23 Mars 2010, 15:49

paspythagore a écrit:Bonjour,

avec votre aide je vais tenter quelque chose. Soyez indulgent :

$\ds\prod_{(m, n)=(0, 0)}^{(r, r)} \dfrac{2m}{2m + 2n}\dfrac{2n}{2m + 2n}$ possibilités.

et

sont fixés, ils ne peuvent pas varier de

à

...

FP.

de **paspythagore** le Mercredi 24 Mars 2010, 19:33

$\ds\prod_{(i, j)=(0, 0)}^{(r, r)} \dfrac{2i}{(2m - i + 1 + 2n - j + 1)}\dfrac{2j}{(2m - i + 1 + 2n - j + 1)}$ possibilités. ?

de **paspythagore** le Jeudi 25 Mars 2010, 13:52

Bon visiblement la suite ça n'est pas ça.

La question est de savoir combien il y a de telles suites avec exactement paires telles que et ont des parités opposées.

C'est vrai que je n'arrive pas à trouver cette suite.

MathemaTeX

Probabilités

Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Re: Probabilités

Qui est en ligne