(Prepa ECS) Polynomes

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

(Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 25 Octobre 2014, 11:04

Bonjour,

Je suis en difficulté sur un exercice, je ne vois pas du tout par où commencer, le mieux est que je le partage :

On considère un polynôme

$$P=\[(2X-1)^{n}-(-2X+3)^{n}\]$$


Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles ;) )

J'ai commencé en énonçant le théorème d'Alembert Gauss: tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression :

$$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$$

(c'est r indice j)

Mais je ne vois pas comment l'appliquer à P(X) .. Pourriez-vous m'indiquer la marche à suivre s'il vous plait ?

Merci beaucoup!
Et bon week end
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Publicité

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar rebouxo » Samedi 25 Octobre 2014, 16:29

Avec un petit coup de $X^n - Y^n = (X-Y)(X^{n-1} + X^{n-2}Y + ... + XY^{n-2} + Y^{n-1})$ ?
C'est factorisé, bon, mais est-ce très sympathique, je n'en sais rien.

Deuxième idée, commencer par des petites valeurs de $n$ et regarder pour une récurrence.

Olivier
PS : a priori \C doit donner $\C$ et \R doit donner $\R$.
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6729
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Samedi 25 Octobre 2014, 18:09

Le théorème de D'Alembert-Gauss ne permet pas de trouver les racines. Il garantit seulement leur existence. Il faut mettre (2X – 1)ⁿ en facteur, puis faire un changement de variable homographique pour se ramener à un problème de racines de l'unité dans C.

B.A.
Dernière édition par balf le Dimanche 26 Octobre 2014, 23:51, édité 1 fois.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3582
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar guiguiche » Dimanche 26 Octobre 2014, 21:38

Lilo69 a écrit:Factoriser P à l'aide de polynômes irréductible de C[X], puis de R[X] (C et R correspondant respectivement à Complexe et Réel, je ne sais pas faire les symboles ;) )

Comme le dit balf (mais le mot homographique n'est pas au programme de ECS), commence par rechercher les racines complexes de P (après tu pourras factoriser) en te ramenant aux racines de l'unité ; pour chaque (ou presque) racine de l'unité tu pourras te ramener à une équation de degré 1.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8007
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Lundi 27 Octobre 2014, 09:47

Merci pour vos réponses,

Nous venons d'entamer le cours sur les racines de polynômes, chercher les racines de P on ne l'a fait qu'avec des puissances connues. Quand je vois puissance n je ne sais pas du tout comment m'y prendre...
Faut-il passer par : /alpha est racine de P si P(/alpha)=0 ? ainsi :

$$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$



$$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$



Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Lundi 27 Octobre 2014, 11:43

Bonjour,

Lilo69 a écrit:

$$(2X-1)^n=(-2X+3)^n$$

Oui

Lilo69 a écrit:

$$\dfrac{(2X-1)^n}{(-2X+3)^n}$$

il manque qqque chose non ?

Tu as le droit d"'écrire ceci sous réserve que ton dénominateur ne soit pas nul, c'est à dire $X\neq \cdots$ mais ce nombre est il racine de $P$ ?

Lilo69 a écrit:Et ensuite chercher "z" en passant par l'écriture exponentielle d'un nombre complexe ?
oui, car tu as une équation du type $Z^n = 1$ que tu dois savoir résoudre.
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10306
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Lundi 27 Octobre 2014, 14:15

Je n'arrive pas à grand chose :

$$Z^n=1$$


$$Z= e^{(i 2k\pi/n)$$



Ensuite avec Z= (2X-1)/(-2X+3)

J'arrive à :

$$2X(1+e^{i2k\pi/n)}) = 1 + 3e^{(i2k\pi/n)}$$



(excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)

Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Lundi 27 Octobre 2014, 14:16

Ah oui et X≠3/2 !
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Lundi 27 Octobre 2014, 14:50

Lilo69 a écrit:(excusez moi pour le LaTex, je n'arrive pas à faire mieux..)
J4ai corrigé légèrement ton code : passe avec la souris dessus afin de voir ce qui a changé

Lilo69 a écrit:Ensuite j'aurais eu l'idée de passé par les formules des angles moitié mais avec le 3 devant l'exponentielle je suis bloquée..

tu peux le faire déjà au dénominateur et ensuite tu rends algébrique le reste de ce quotient directement, et après tu passes avec les formules es angles moitié. Ça se simplifie bien tout ça.

La partie réelle est un nombre très simple, et la partie imaginaire dépend de $k\pi/n$

PS : n'oublie pas de préciser ton $k$ dans quoi il varie.
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10306
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Lundi 27 Octobre 2014, 15:36

Alors k varie de 0 à n-1

En faisant ça, j'arrive à :

$$\dfrac{1+3e^{(i2kpi)/n}}{2*e^{(ikpi)/n}*2cos(kpi/n)}$$



Je ne vois pas comment simplifier ...
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Lundi 27 Octobre 2014, 15:47

correct

Lilo69 a écrit:Je ne vois pas comment simplifier ...
$\dfrac{1}{e^{ik\pi/n}}$ se transforme, développer le numérateur et écrire parties réelle et imaginaire
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10306
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 13:19

Alors j'ai séparé en deux et j'obtiens :

$$\dfrac{e^(-ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}+\dfrac{3e^(ikpi/n)}{4cos(kpi/n)}$$

(désolée encore pour l'écriture mais ça commence juste à venir.. ;) )

Est-ce juste ? et c'est là que je dois séparer Réel et Imaginaire ? je ne suis pas sûre de bien comprendre..
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Mardi 28 Octobre 2014, 14:21

C'est juste, mais inutile de séparer en deux. Il suffit d'appliquer les formules d'Euler et à la fin, de séparer partie réellle et partie imaginaire.

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3582
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 15:32

Oui je ne sais pas pourquoi j'ai séparé, en effet.

Mais avec les formules d'Euler :

$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$



?

Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
Dernière édition par kojak le Mardi 28 Octobre 2014, 15:44, édité 1 fois.
Raison: Mise en forme LaTeX
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 15:45

Lilo69 a écrit:Mais avec les formules d'Euler :

$$e^{i\alpha}+e^{-i\alpha} = 2 cos\alpha$$

Oui et non.

quelle est la définition de $e^{i\alpha}$ ?
Code: Tout sélectionner
 $e^{i\alpha}$


Lilo69 a écrit:Mais qu'est ce que je fais du 3 ? j'ai tourné dans tous les sens je n'arrive pas à simplifier, ça doit être tout bête en plus...
En effet, en utilisant la définition de $e^{i \alpha}$ :wink:
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10306
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 15:52

Aaahhh !!

En plus je l'avais écrite dans un coin.. Alors en l'utilisant ça me donne :

$$1+itan(k\pi/n)$$



pour k variant de 0 à n-1

Mais alors ceci est une racine de P ? Là j'avoue qu'avec la variation de k et la question initiale je ne m'y retrouve pas...
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 15:56

Xcas me donne $1+\dfrac{i}{2}\tan(k\pi/n)$ : tu n'as pas oublié ce $1/2$ par hasard ?

Lilo69 a écrit:Mais alors ceci est une racine de P ?
Ben pour trouver ceci, tu as résolu quelle équation ?

Et mieux que ça : toutes les racines de ton polynôme $P$. D'ailleurs il est de degré combien ? donc dans $\C$ tu as combien de racines ?
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10306
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 16:16

(oui oui j'avais bien le i/2 que j'ai oublié de taper!)

Et voilà la partie du cours qui me pose problème ... ;) Pour moi tout ça est abstrait.. j'essaie :

On a résolu :

$$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$$



Après tous les calculs on a :

$$X = 1+\dfrac{i}{2}tan\dfrac{k\pi}{n}$$



Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...

P est de degré n ? et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans

$$\C$$

...
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Mardi 28 Octobre 2014, 16:37

Lilo69 a écrit:On a résolu :

$\dfrac{2X-1}{-2X+3}=e^{(i2k\pi)/n}$
oui mais juste avant, c'était $\left(\dfrac{2X-1}{-2X+3}\right)^n=1$ c'est à dire en faisant le lien avec ton polynôme $P$ ?

Lilo69 a écrit:Après tous les calculs on a :

$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$
Oui

Lilo69 a écrit:Alors déjà ici l'histoire du X comme indéterminée me bloque ...
Oui mais ici ce n'est pas ton indéterminée mais une racine de ... ?

Lilo69 a écrit:P est de degré n ?
C'est une question ou la réponse ? et il faut en être sûr sachant qu'ici il faut faire la distinction $n$ pair ou impair. vois tu pourquoi ?

Lilo69 a écrit: et je ne sais pas comment le lier avec les racines dans $\C$
Une fois qu'on a toutes les racines d'un polynôme dans $\C$, il peut se factoriser comment ce polynôme ?
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10306
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Mardi 28 Octobre 2014, 16:51

Cela signifie que :

$X = 1+\dfrac{i}{2}\tan\dfrac{k\pi}{n}$ est racine de P


Non je ne vois pas pourquoi on doit distinguer les 2 cas..

D'après l'énoncé on peut dire que P est de degré n, non ?

Et après on utilise le théorème d'Alembert Gauss pour factoriser ? > Tout polynôme non nul de degré supérieur à A de C[X] admet au moins une racine dans C
Avec ceci on peut factoriser P(X) avec l'expression :

$$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{n} (X-\[\alpha_{j}\))^r$$

(c'est r indice j)
Lilo69
Déca-utilisateur
 
Messages: 40
Inscription: Samedi 25 Octobre 2014, 10:39
Statut actuel: Post-bac | CPGE

Suivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 3 invités

cron