(Prepa ECS) Polynomes

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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 17:19

Merci pour ces explications!

J'essaie avec ce que vous m'avez dit :

$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))\prod_{k=p+1}^{2p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$
$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))\prod_{h=-p}^{-1} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{h\pi}{h}\right))$
Les valeurs négatives pour les bornes sont-elles correctes ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Samedi 01 Novembre 2014, 17:28

Lilo69 a écrit:Les valeurs négatives pour les bornes sont-elles correctes ?
Oui, en ayant corrigé le dénominateur $2p+1$ au lieu de $h$ : faute de frappe.

et donc, maintenant dans ce dernier produit avec les valeurs négatives, tu poses $k=-h$ et là tu devrais voir qque chose.

PS : dans le premier changement d’indice, j'espère que dans la parenthèse tu avais bien changé car tu dois avoir $\tan\left(\dfrac{h+(2p+1)}{2p+1}\pi\right)$ : l'as tu bien vu et aussi pourquoi ça se transforme en $\tan\dfrac{h\pi}{2p+1}$ : faut justifier sur ta copie, n'est ce pas ?

@balf : les congruences ne sont pas au programme en ECS
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Samedi 01 Novembre 2014, 17:34

@kojak : la preuve que c'est un manque regrettable ;o)
Mais s'ils les ont vues pour le bac, ils n'ont plus le droit de s'en servir ?
B.A.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Samedi 01 Novembre 2014, 18:11

balf a écrit:Mais s'ils les ont vues pour le bac, ils n'ont plus le droit de s'en servir ?
Ceci n’est vu qu'en spé Maths en S. Pas en obligatoire, et à priori, elle n'a pas fait spé maths en Term S.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 18:55

J'essaie avec ce que vous m'avez dit :

$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))\prod_{h=-p}^{-1} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{h\pi}{2p+1}\right))$
$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))\prod_{k=p}^{1} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{-k\pi}{2p+1}\right))$

et là on retrouve bien les deux conjugués, c'est ça ? on peut alors faire le lien avec :

$$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{m}(X-\beta_j)^{s_j}\prod_{k=1}^{l}(X^{2}-2Re(\alpha_k)X+\mid(\alpha_k)\mid^{2})^{t_k}$$

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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Samedi 01 Novembre 2014, 19:10

Lilo69 a écrit:et là on retrouve bien les deux conjugués, c'est ça ?
Ce n'est pas encore clair : il faut sortir le $-$ de la tangente en écrivant que la fonction $\tan$ est impaire !: faut justifier :wink:

D’ailleurs tu penseras à justifier l’étape précédente comme je te l'ai indiqué précédemment.

Lilo69 a écrit:on peut alors faire le lien avec ..
Oui en les regroupant 2 par 2 avec le conjugués. Il ne te reste plus qu'à développer directement ceci :

$ (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)) (X-({1-i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$

après, pour le cas $n$ pair, c'est pareil.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 10:59

Alors avec ça ça fait :

$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))\prod_{k=p}^{1} (X-({1-i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$

Et :

$$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p}(X^{2}-2X+\mid(1+1/2tank\pi/2p+1)\mid^{2})$$



Est-ce bien ça ?

Et pour n pair c'est la meme chose sauf que $2^{2p+2}$ change ? et les bornes aussi ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 11:00

Ah non pardon ici il y a un problème avec les bornes du produit, c'est k=1 du coup, par la relation de Chasles, non ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Dimanche 02 Novembre 2014, 13:04

Lilo69 a écrit:Est-ce bien ça ?
Presque car il manque le $i$ et il faut calculer ce module au carré

Lilo69 a écrit:Et pour n pair c'est la mémé chose sauf que $2^{2p+2}$ change ? et les bornes aussi ?
un peu tout change. Il faut bien reprendre le calcul dans ce cas en posant $n=2p$ sachant qu'il y a des valeurs de $k$ à enlever comme dit précédemment.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 14:35

Merci pour votre aide et toutes vos indications, je vais essayer de rédiger tout ça au propre !
Est-il possible de poster une photo ici?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 14:51

Ah oui et pour cette dernière factorisation de P, donc dans R quand n est pair (n=2p) :

le produit va de 1 à 2p-1, mais quand k=p, ça n'existe pas, c'est à dire qu'on enlève, dans ce produit, la partie $\prod_{k=p}^p$ ?
du coup ça ferait :

$\prod_{k=1}^{p-1}.....*\prod_{k=p+1}^{2p-1}$?

Est-ce correct ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Dimanche 02 Novembre 2014, 15:00

Toutàfé :D
Ensuite, même changement d'indice que précédemment, etc.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 15:08

Et pour la justification de la tangente j'ai mis que $tan(x+\pi)=tan(x)$ !
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Dimanche 02 Novembre 2014, 15:09

Toutàfé correct. :D
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 15:10

Alors je crois que... j'arrive ENFIN à bout de cet exercice !!!!!! Merci beaucoup pour votre aide (et surtout pour votre patience, il faut m'expliquer longtemps ;) )
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 15:28

ah non dernière question ;)

J'arrive à deux factorisation de P dans $\R$ qui sont :

Quand n impair :

$$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{p}(X^{2}-2X+1+1/4tan^{2}(k\pi/2p+1))$$



Et quand n pair :

$$P(X)=p2^{p}(X-1)\prod_{k=1}^{p-1}(X^{2}-2X+1+1/4tan^{2}(k\pi/2p))$$

avec k≠p≠n/2

Est-ce correct ?
Je ne suis pas sure des bornes des produits, car k dans tous les cas varie de 0 à n-1, et ça ne colle pas vraiment ...
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Dimanche 02 Novembre 2014, 15:50

C'est presque bon, à part le coeff devant dans le cas où $n$ est pair : ce n'est pas $p2^p$ : attention. Pour $n$ pair, tu as écrit plus haut $2n2^{n-1}$ donc en $p$ ça donne combien ?

Et si tu veux vérifier que ça colle pour qques valeurs de $n$, il suffit d'appliquer tes formules afin de voir si c'est correct avec l'aide d'un logiciel de calcul formel comme Xcas par exemple.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 16:01

D'accord,

Mais $2n2^{n-1}$ n'est pas égal à $n2^n$ ?

Cela signifie que si je transforme les deux expression de p en remplaçant par n, pour avoir les memes lettres que dans l'énoncé, ça me donnerait :

Quand n impair :

$$P(X)=2^{n+1}(X-1)\prod_{k=1}^{p}(X^{2}-2X+1+1/4tan^{2}(k\pi/n))$$



Et quand n pair :

$$P(X)=n/2*2^{n/2}(X-1)\prod_{k=1}^{(n/2)-1}(X^{2}-2X+1+1/4tan^{2}(k\pi/n))$$

avec k≠n/2

Est-ce juste de dire ça ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Dimanche 02 Novembre 2014, 16:21

Lilo69 a écrit:
Mais $2n2^{n-1}$ n'est pas égal à $n2^n$ ?
Oui mais $n=2p$.

Lilo69 a écrit:Cela signifie que si je transforme les deux expression de p en remplaçant par n, pour avoir les mêmes lettres que dans l'énoncé
je ne le ferais pas. Je dirais si $n=2p+1$ impair alors, et si $n=2p$ pair, alors.

Là, c'est un coup à faire des bêtises à mon sens, ce que tu as fait d'ailleurs :wink:
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Dimanche 02 Novembre 2014, 16:27

ah oui oui pardon...
Oui je vais laisser comme ça, ça vaut mieux ! ;)

Merci encore!!
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