(Prepa ECS) Polynomes

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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 15:36

$4^n$ ? J'ai l'impression de faire n'importe quoi car ça me parait juste et en même temps faux car $2^3-(-2)^3 ≠ 4^3$

Alors dans le cas où n pair, c'est la meme formule avec k≠n/2 ?

Pour le coeff de degré n-1, avec la formule comprenant les formules de Newton, j'obtiens :

$-n(2^{n-1}-3(-2)^{n-1})$
Ce qui me parait bizarre...
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 15:43

Lilo69 a écrit:$4^n$ ? J'ai l'impression de faire n'importe quoi car ça me parait juste et en même temps faux car $2^3-(-2)^3 ≠ 4^3$
Je te confirme que ceci n'est pas correct. Donc fais attention à ce que tu fais.

Lilo69 a écrit:Alors dans le cas où n pair, c'est la meme formule avec k≠n/2 ?
Oui

Lilo69 a écrit:Pour le coeff de degré n-1, avec la formule comprenant les formules de Newton, j'obtiens :

$-n(2^{n-1}-3(-2)^{n-1})$
Ceci se simplifie encore et il y a un pb de signe à mon avis.

Lilo69 a écrit:Ce qui me parait bizarre...
En maths, il n'y a rien de bizarre. Pour "voir" si ça marche, reprends les polynômes dans le cas où $n=1$, $n=2$, $n=3$ afin de voir si tes formules sont correctes.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 16:18

N'importe quoi ..

Bon : donc ça me fait $2*2^n$ comme $\lambda$ pour n impair
et $2n*2^{n-1}$ comme $\lambda$ pour n pair

Est-ce correct ?

Ainsi, pour la première partie de la question de l'exercice je peux répondre :

Pour n impair :
$P(X)=2*2^{n}\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$ pour $k≠n/2$

Pour n pair :
$P(X)=2n*2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$

Mais est-ce ça un polynôme irréductible ? Nous n'avons encore fait aucun exercice dessus, j'ai du mal à comprendre




Ensuite pour $\R$, je sépare de la même façon quand n est pair ou impair et j'utilise :


$$P(X)=\lambda\prod_{j=1}^{m}(X-\beta_j)^{s_j}\prod_{k=1}^{l}(X^{2}-2Re(\alpha_k)X+\mid(\alpha_k)\mid^{2})^{t_k}$$




$\beta$ fait partie des réels, il faut donc trouvé une racine réel à P ? et pour l'autre partie de la formule $\alpha$ correspond à $(1/2)tan(k\pi/n)$, c'est bien ça ? J'ai encore une fois du mal à voir à quoi correspondent les termes de cette formule, pas très explicites dans mon cours..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 17:33

Lilo69 a écrit:Bon : donc ça me fait $2*2^n$ comme $\lambda$ pour n impair
et $2n*2^{n-1}$ comme $\lambda$ pour n pair
correct, mais ça peut encore s'écrire plus simplement en regroupant les puissances de $2$.

Lilo69 a écrit:Pour n impair :
$P(X)=2*2^{n}\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$ pour $k≠n/2$
$k$ ne peut pas être égal à $n/2$ si $n$ impair, non ?

Lilo69 a écrit:Pour n pair :
$P(X)=2n*2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$
c’est ici qu'il faut ajouter $k\ne n/2$

Lilo69 a écrit:Mais est-ce ça un polynôme irréductible ?
Dans $\C$, oui ! Relis ce que t'as dit balf précédemment sur les polynômes irréductibles dans $\C$ et dans $\R$.

Lilo69 a écrit:Ensuite pour $\R$, je sépare de la même façon quand n est pair ou impair
bien sûr, tu n'as pas le choix.

Ensuite, il faut regrouper les racines conjuguées ensemble de façon à avoir des polynômes à coeff réels mais à discriminant strictement négatif : idem, balf t'en a parlé plus haut.

Exemple : comment factorises tu dans $\C$ $(x-1)(x^2+1)$ ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 18:01

Oui pardon je me suis trompée de ligne pour k..

et c'est $2^{n+1}$ et $n2^n$


Dans l'expression que vous me donnez, on factorise par : (x-1)(x+i)(x-i) ?

Dans notre cas, on aura : $(X-(1+i/2tan(k\pi/2))(X-(1-i/2tan(k\pi/2))$ (et si on développe cela on arrive à l'expression du deuxième produit de la formule de factorisation)

Cela signifie-t-il que dans la formule, le premier produit est le même que dans $\C$ et on remplace dans le deuxième produit en sachant que $\alpha$ correspond à $1+i/2tan(k\pi/2)$ ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 18:06

Non pardon dans le premier produit de la formule il faut que ce soit une racine réelle !
Pour n pair, 1 peut être racine, mais pas pour n impair.. comment trouver une racine réelle pour n impair ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 18:43

Lilo69 a écrit:Oui pardon je me suis trompée de ligne pour k..

et c'est $2^{n+1}$ et $n2^n$
Tout à fait.

Lilo69 a écrit:Dans l'expression que vous me donnez, on factorise par : (x-1)(x+i)(x-i) ?
Oui, et ici, faut faire le contraire.

Lilo69 a écrit:Cela signifie-t-il que dans la formule, le premier produit est le même que dans $\C$ et on remplace dans le deuxième produit en sachant que $\alpha$ correspond à $1+i/2tan(k\pi/2)$ ?
ben non pas tout à fait.

Il faut que tu trouves les racines conjuguées parmi $1+1/2 i \tan(k\pi/n)$ qd $k$ varie entre $0$ et $n-1$

Lilo69 a écrit:Pour n pair, 1 peut être racine, mais pas pour n impair.. comment trouver une racine réelle pour n impair ?
ton polynôme a toujours une racine réelle qd $k=\cdots$ ?

Pour faire plus simple, je te conseillerais de poser $n=2p+1$ si $n$ impair, et $n=2p$ qd $n$ pair.

Là dedans, tu cherches déjà pour quelle valeur de $k$ tu as une racine réelle.

Donc qd $n=2p+1$ impair, tu as $P(X)=2^{2p}\prod_{k=0}^{2p-1} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$. Ensuite parmi les racines complexes qui te restent, il faut voir pour quelle autre valeur de $k$ celle qui est conjuguée à $1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right)$
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Vendredi 31 Octobre 2014, 18:53

Je ne comprends pas .. pour moi deux racines conjuguées sont $1+1/2itan(k\pi/n)$ et $1-1/2itan(k\pi/n)$
Je ne vois pas comment trouver les différentes valeurs de k que vous me proposez de chercher..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Vendredi 31 Octobre 2014, 20:13

Le mieux est de partir sur ton polynôme $P$ pour $n=3$.

A l'aide de ce que tu as trouvé précédemment, écris alors la factorisation de $P$ dans $\C$ à l'aide de $\tan(\cdots)$. Déduis en la factorisation dans $\C$. Car là, qd on a du mal à voir formellement, et qd on a la chance de pouvoir regarder sur des exemples, il ne faut pas s'en priver.

Essaie aussi qd $n=4$.

Enfin, tu n'as pas répondu à la question
ton polynôme a toujours une racine réelle qd $k=\cdots$ ?
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 09:43

Avec n=3, je trouve que 1 est racine de P quand k=O, est-ce bien ça ?

Mais ce qui me dérange c'est qu'en prenant la formule avec le produit et en démarrant directement avec l'expression du polynôme P de l'énoncé, la factorisation est différente et j'ai du mal à voir le lien entre les deux

Par exemple, quand je factorise P de l'énoncé avec n=3, j'arrive à :

$4(X-1)(4X^2-8X+7)$

et avec l'autre formule :

$2^{n+1}(X-1)(X-(1+i/2tan(\pi/3))(X-(1+i/2tan(2\pi/3))$
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Samedi 01 Novembre 2014, 11:03

Lilo69 a écrit:Avec n=3, je trouve que 1 est racine de P quand k=O, est-ce bien ça ?
C'est toujours le cas quel que soit $n$. $1$ est toujours racine de $P$ pour $k=0$.

Lilo69 a écrit:Par exemple, quand je factorise P de l'énoncé avec n=3, j'arrive à $4(X-1)(4X^2-8X+7)$
là tu es dans $\R$, mais c'est mal factorié, car ton polynôme de degré 2 doit avoir un coeff en $X^2$ égal à $1$, donc tu peux encore factoriser par $4$ donc devant tu as bien le $2^4=16$.

Lilo69 a écrit:$2^{n+1}(X-1)(X-(1+i/2tan(\pi/3))(X-(1+i/2tan(2\pi/3))$
là, tu as factoriser dans $\C$. Tu devrais ici remarquer que $\tan \pi/3=-\tan (2\pi/3)$ donc tu as bien 2 racines complexes conjuguées
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 13:51

Oui j'ai fait pour les cas n=3 et n=4 et j'ai généralisé que 1 est racine pour k=O mais comment le justifier avec une rédaction correcte ?

Ensuite, pour la factorisation dans $\R$ c'est pareil, j'ai remarqué à chaque fois les racines complexes conjuguées mais je ne sais pas comment le rédiger pour compléter la formule et en faire un polynôme irréductible..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Samedi 01 Novembre 2014, 14:45

Lilo69 a écrit:Oui j'ai fait pour les cas n=3 et n=4 et j'ai généralisé que 1 est racine pour k=O mais comment le justifier avec une rédaction correcte ?
 Ca vient tout simplement de là

$X= 1+(i/2)tan(k\pi/n)$

Lilo69 a écrit:Ensuite, pour la factorisation dans $\R$ c'est pareil, j'ai remarqué à chaque fois les racines complexes conjuguées mais je ne sais pas comment le rédiger pour compléter la formule et en faire un polynôme irréductible..


C'est pour ça que je tg'avais indiqué ceci
kojak a écrit:Pour faire plus simple, je te conseillerais de poser $n=2p+1$ si $n$ impair

Donc qd $n=2p+1$ impair, tu as $P(X)=2^{2p}\prod_{k=0}^{2p-1} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 15:08

D'accord,

kojak a écrit:Donc qd $n=2p+1$ impair :

$$P(X)=2^{2p}\prod_{k=0}^{2p-1} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$$

.

Si n impair, pourquoi on a $2^{2p}$ ? si on remplace n par 2p+1 ça ne fait pas $2^{2p+2}$ ? Car on avait la formule :

Pour n impair :

$$P(X)=2^{n+1}\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$$



Mais cette expression correspond à quoi ? A une factorisation dans $\R$ ? Je suis un peu perdu..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar guiguiche » Samedi 01 Novembre 2014, 15:29

Tant que "i" apparait dans ton expression, tu n'as pas la factorisation dans R mais dans C. Regroupe les facteurs par 2 (avec les racines conjuguées).
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 15:38

J'ai compris l'histoire des conjugués en prenant n=3 ou n=2 par exemple, mais je ne sais pas le faire dans l'expression générale, avec le n..
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Samedi 01 Novembre 2014, 16:00

Pour trouver les couples conjugués,c'est une simple histoire de congruences : il suffit de se demander quand kπ/n $\equiv$ - lπ/n (mod π), sachant que k et l sont compris entre 1 et 2p – 1.

B.A.
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar Lilo69 » Samedi 01 Novembre 2014, 16:22

N'ayant pas pris option maths l'année dernières, les congruences sonnent chinois pour moi ;)
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar kojak » Samedi 01 Novembre 2014, 16:31

Lilo69 a écrit:Pour n impair :

$$P(X)=2^{n+1}\prod_{k=0}^{n-1} (X-({1+(i/2)tan(k\pi/n)}))$$

Oui, tu as raison : mea culpa.

Je corrige : donc on a $P(X)=2^{2p+2}\prod_{k=0}^{2p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$. Déjà la dedans tu sors le cas $k=0$ donc tu as
$P(X)=2^{2p+2}(X-1)\prod_{k=1}^{2p} (X-({1+i/2 \tan\left(\dfrac{k\pi}{2p+1}\right))$

ensuite dans ce produit : tu le décomposes en 2 : $\prod_{k=1}^{p}\cdots\prod_{k=p+1}^{2p} \cdots $ et dans le second tu fais le changement d'indice $h=k-(2p+1)$ : ce second produit devient quoi avec tes $h$ ?
$\prod_{h=\cdots}^{\cdots}$
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Re: (Prepa ECS) Polynomes

Messagepar balf » Samedi 01 Novembre 2014, 16:41

Ce n'est pas très compliqué: une congruence est comme une égalité à un multiple entier du module près. Mêmes règles pour les manipuler.

Voici quelques détails. Si tout n'est pas limpide, ne pas hésiter à demander.

kπ/n $\equiv$ –lπ/n [π] $\iff$ k $\equiv$ –l [n] (en multipliant tout par n/π) ou encore k + l $\equiv$ 0 [n].

Comme 0 $\leqslant$ k, l $\leqslant$ n – 1, cela donne nécessairement k + l = n. Si n = 2p + 1, on a donc l = 2p – k + 1.

À vérifier : si ça colle avec ce que vous avez obtenu pour les premières valeurs de n (j'avoue que je n'ai pas eu le courage de tout vérifier, n'ayant pas suivi l'intégralité de la discussion…).

B.A.
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