Norme spectrale

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Norme spectrale

Messagepar marimar » Jeudi 18 Septembre 2008, 12:06

Bonjour,

Merci de m'aider à resoudre le problème suivant:

Soit $B$ une $N\times m$ matrice. Soit $A$ la résolvante de $BB^*$ sur l'axe réel négatif, ie: $A= (BB^*-tI_N)^{-1}$$t\in \bb R^{-}$.
Soit C une matrice $N\times m$ de norme spectrale finie et telle les lignes et les colonnes sont bornées dans $\cal L^{2}$.Notons $c_j$ la colonne $j$ de la matrice $C$.
Posons, $A_j=(B_jB^*_j -tI_N)^{-1}$$B_j$ est la matrice resultante en enlevant la colonne $j$ de la matrice $B$.
Montrer que la norme spectrale de $\sum^m_{j=1} A_jc_jc^*_jA_j$ est finie.
Merci pour toute aide ;)$$
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Publicité

Re: Norme spectrale

Messagepar kilébo » Jeudi 18 Septembre 2008, 12:58

Au risque de paraitre idiot : c'est quoi la norme spectrale ?

Amicalement,
Vincent.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Re: Norme spectrale

Messagepar balf » Jeudi 18 Septembre 2008, 14:22

La racine carrée de la plus grande valeur propre de la matrice symétrique semi-définie positive A*A (où A* est la conjuguée de la transposée de A).

B.A.
balf
Zetta-utilisateur
 
Messages: 3582
Inscription: Mercredi 02 Janvier 2008, 23:18
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Jeudi 18 Septembre 2008, 15:25

Bonjour

Personnellement je n'avais pas vu (ou mémoire défaillante) le terme de norme spectrale, plutôt norme 2 ou euclidienne.
Pour la question je suppose que les coefficients sont bornés dans $L^2$ et pas $\cal L^2$ ?
D'autre part, on veut montrer que la norme spectrale de (la matrice compliquée) est finie : finie dans quoi $L^2$, $L^\infty$. La matrice compliquée depend de $t$ et $c_j$ donc de $t$ et d'une autre variable.

Merci de bien vouloir préciser les dépendances.

Cordialement
O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Vendredi 19 Septembre 2008, 10:35

Bonjour tout le monde,

Grace aux remarques de OG je découvre que l'énoncé manque beaucoup de précisions :oops: (Merci OG).
Je redonne l'enoncé:
Soit $(B_m)_{m\ge 1}$ une suite de matrices de dimensions $N\times m$, avec $N=km$, $k$ est une constante dans $\bb R^{*+}$, on suppose que $||B_m||_{sp}<\infty$, $\forall m \ge 1$. Soit $(A_m)_m$ la suite des résolvantes resp. de $B_mB^*_m$ sur l'axe réel négatif, ie: $\forall m\ge 1$, $A_m=(B_mB^*_m-tI_N)^{-1}$$t\in \bb R^{-}$.
Soit $(C_m)_m$ une suite de matrices de dimensions $N\times m$ de normes spectrales finies par rapport à $m$ (et donc par rapport à $N$),ie $\exists K>0$ tel que $||C_m||_{sp}\le K$ $\forall N$ et $m$. Les lignes et les colonnes de $C_m$ sont bornées dans $L^2$.Notons $c_{mj}$ la colonne $j$ de la matrice $C_m$.
Posons $A_{mj}=(B_{mj}B^*_{mj}-tI_N)^{-1}$, où $B_{mj}$ est la matrice résultante en enlevant la colonne $j$ de la matrice $B_m$.
Montrer que la norme spectrale de la matrice $\sum^{m}_{j=1}A_{mj}c_{mj}c^*_{mj}A_{mj}$ est uniformément bornée par rapport à $m$.
Remarques:
1) La norme spectrale est exactement ce qu'a donné Bafl comme définition. En plus, cette norme est le norme subordonnée de la norme euclidienne, ie: $||A||_{sp}=\sup_{||x||\ne 0}\frac{||Ax||}{||x||}$$||.||$ est la norme euclidienne.
Merci
Dernière édition par marimar le Mercredi 24 Septembre 2008, 12:23, édité 3 fois.
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Vendredi 19 Septembre 2008, 12:25

marimar a écrit:Bonjour tout le monde,
Grace aux remarques de OG je découvre que l'énoncé manque beaucoup de précisions :oops: (Merci OG).

De rien, une remarque est plus facile à faire que l'exercice.
Si j'ai bien compris, à $t$ fixé (négatif) on doit démontrer que la matrice $A_N$
(dont la taille dépend de $N$) est bornée uniformément par rapport à $N$ ?

D'où cela vient-il (si ce n'est pas trop indiscret) ? Où en es-tu dans l'exo ?

O.G.

Edit: en fait la véritable variable est $m$ puisque $N=km$. enfin il manque un $*$ dans
la formule de $A_N$ : $c_{N_j}c_{N_j}^*$
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Vendredi 19 Septembre 2008, 16:06

Bonnes remarques :wink: :
1) On pourrait indexer tout le monde par $m$ au lieu de $N$ (j'ai fait les modifs qu'il faut dans l'enoncé).
2) Je signale que ma matrice $A_m$ est bien définie car le determinant de la matrice $B_mB^*_m -tI_N$ est toujours different de 0 pour les $t\in \bb R^{*-}$.
3) La matrice $A_m$ est bien bornée en norme spectrale. En effet, si je note $\lambda_{mj}$ les valeurs propres de $B_mB^*_m$ avec $j$ varie de 1 à $N$, j'ai la décomposition spectrale de la matrice $A_m= U_mdiag(\frac{1}{\lambda_{mj}-t})U^*_m$, $U_m$ est la matrice unitaire des vecteurs propres. Donc les valeurs propres de $A_m$ sont $\frac{1}{\lambda_{mj}-t}$ qui sont toutes majorées par $\frac{1}{-t}$. Par conséquent, la norme spectrale de $A_m$ qui n'est autre que la norme (valeur absolue) de la plus grande valeur propre de $A_m$ est majorée par $\frac{1}{-t}$.
:weight_lift:
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Samedi 20 Septembre 2008, 09:56

Bonjour

Merci pour les remarques et pour les modifs, c'est plus clair ainsi.
Ce n'est pas forcément gênant, mais la matrice compliquée dépend de façon plus ou moins quadratique par rapport à $C_m$.
D'autre part, sur $B_m$ aucune hypothèse ?

Et je réitère ma question :
D'où cela vient-il ? (psychologiquement ça peut m'aider !)

O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Samedi 20 Septembre 2008, 11:11

Bonjour,

Hé les jeunes, où êtes vous? :nonono:
I need your help :worthy:

PS: La norme spectrale de la matrice $B_m$ est finie....
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Mardi 23 Septembre 2008, 12:13

Bonjour

Pour tout dire, je n'ai pas trouvé. J'ai griffoné deux trois pages : (uniquement le cas carré) en résumé :
La matrice compliquée $S$ est hermitienne, j'ai donc regardé $|<Sx|x>|$. Si on remplace $A_{mj}$ par une matrice constante (indépendante de $j$) mais de norme spectrale bornée, ce n'est pas compliqué : on tombe sur du $C^*Ax$ ou du même genre.

Ensuite j'ai utilisé la formule de Sherman-Morrison car on a plus ou moins $B_{mj}B^*_{mj}=B_mB^*_m-b_{jm}b_{jm}^t$$b_{mj}$ est le vecteur colonne de $B$. Le terme qui vient alors de $A$ va bien se comporter mais il me reste les termes correcteurs dont je ne sais que faire...


Cordialement
O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Mardi 23 Septembre 2008, 14:06

Bonjour,

1) Je pense que ton raisonnement est juste même pour le cas general (matrice rectangulaire): j'ai procédé de la même façon!
2) $S_m$ est hermitienne car $A_m$ l'est.
Voici comment j'ai procédé et les problèmes rencontrés avec les termes qui restent:
j'ignore l'indice m sachant que tt le monde depend de m. L'idée est de se débarrasser de l'indice $j$, mais...
On a : Lemme d'inversion où Sherman-Morrison formula :
$A_j=(B_jB^*_j+tI_N)^{-1}=(A^{-1}-b_jb^*_j)^{-1}=A+\alpha_jAb_jb^*_jA$$\alpha_j=\frac{-1}{1-b^*_jAb_j}$.
Donc, [5][bad png file dimensions]
[5][bad png file dimensions].
On traite terme par terme:
[5][bad png file dimensions]: :clapping:
[5][bad png file dimensions]
[5][bad png file dimensions]
On a: [5][bad png file dimensions] et [5][bad png file dimensions] par hypothèse.

Je sais que je fais n'importe quoi :tomato: , car:
1) je sais pas si [5][bad png file dimensions] existe ou pas... :down:
2) max_j||b_j||: aucune idée.. :frusty:
Mais, intuitivement je sens que c'est possible, car les [5][bad png file dimensions] ne sont que des perturbations de rang un de la matrice [5][bad png file dimensions] qui elle, vérifie la proposition, mais comment faire?!?.... :pullhair:
Dernière édition par marimar le Mercredi 24 Septembre 2008, 12:45, édité 1 fois.
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Mardi 23 Septembre 2008, 20:12

marimar a écrit:Je sais que je fais n'importe quoi :tomato: , car:
1) je sais pas si $sup_j|\alpha_j|$ existe ou pas... :down:
2) max_j||b_j||: aucune idée.. :frusty:
Mais, intuitivement je sens que c'est possible, car les $A_j$ ne sont que des perturbations de rang un de la matrice $A$ qui elle, vérifie la proposition, mais comment faire?!?.... :pullhair:


bonsoir

pour la majoration, vu que l'on a une norme il me semble que contrôler $\gamma_1$ et $\gamma_4$ suffit.

pour 1) ce n'est pas gagné, es-tu sûr d'ailleurs que $b_j^*Ab_j\neq 1$ ?
pour 2) sans hypothèse supplémentaire sur $B_m$, il n'y a pas de raison

D'ailleurs je viens de relire tes messages : on suppose de plus que $B_m$ de norme spectrale finie ? (je n'avais pas vu donc pas tenu compte)
Peux-tu confirmer ?

O.G. qui ne fait pas avancer le schmilblik
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Mercredi 24 Septembre 2008, 12:18

Bonjour,

Oui, t'as raison, je suis même pas sûre que $b^*_jAb_j \ne 1$..
je confirme que la norme spectrale de $B_m$ est supposée finie.
Merci OG.
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Mercredi 24 Septembre 2008, 15:41

Bonjour,

Question:
Soit $(\delta_j)_j$ une suite de vecteurs dans $\bb C^N$.
On sait que:
1) $\delta^*_j\delta_j$ est une valeur propre de la matrice $\delta_j\delta^*_j$.
2) $\sum^m_{j=1}\delta^*_j\delta_j= Trace (\sum^{m}_{j=1}\delta_j\delta^*_j)$

Est-ce qu'on pourrait espérer que $\sum^m_{j=1}\delta^*_j\delta_j$ soit une valeur propre de $\sum^{m}_{j=1}\delta_j\delta^*_j$?
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Vendredi 24 Octobre 2008, 15:08

Bonjour

désolé pour le retard, depuis 15 jours je n'avais pas le courage de tout écrire.
Ça a l'air de marcher mais il faut tout de même vérifier.

On suppose que $B_{m}$ et $C_{m}$ de taille $N\times m$ sont de normes
spectrales bornées indépendamment de $m$ avec $N=km$.
Avec les notations de Marimar on pose

$$ S_{m}=\sum_{j=1} A_{mj}c_{mj}c_{mj}^{*}A_{mj}.$$


Comme $S_{m}$ est hermitienne on regarde $<S_{m}x|x>$ pour $\|x\|\leq 1$.
La formule de Sherman-Morrison on a

$$A_{mj}=(B_{m}B_{m}^{*}-tI_{N}+b_{mj}b_{mj}^{*})^{-1}=A_{m}- \alpha_{mj} A_{m}b_{mj}b_{mj}^{*}A_{m}$$



$$\alpha_{mj}=\frac{1}{1-b_{mj}^{*}A_{m}b_{mj}}$$


Comme les termes dans $I$ et $II$ sont positifs il suffit de contrôler d'une part

$$I=\big|<\sum_{j=1}^{m} A_{m}c_{mj}c_{mj}^{*}A_{m}x|x>\big|$$


et d'autre part

$$II=\big|<\sum_{j=1}^{m}\alpha_{mj}^{2}A_{m}b_{mj}b_{mj}^{*}A_{m}c_{mj}c_{mj}^{*}A_{mj}b_{mj} b_{mj}^{*}A_{m}x|x>\big|$$


Pour le 1er terme, c'est facile car on reconstruit la matrice
$C_{m}C_{m}^{*}$ et chaque terme est positif :

$$I=<A_{m}C_{m}C_{m}^{*}A_{m}x|x> \leq \|C_{m}\|\times \|C_{m}^{*}\|\times\|A_{m}\|^{2}$$


Pour le 2ème les choses se corsent un peu, mais chaque terme est
positif et on remarque que

$$\beta_{mj}=b_{mj}^{*}A_{m}c_{mj} c_{mj}^{*}A_{m}b_{mj} \in \mathbb{R}^{+}$$


et

$$\beta_{mj} \leq M$$


uniformément en $m$ et $j$ par les hypothèses sur $B$ et $C$.
Si on contrôle $\alpha_{mj}$ c'est terminé car on va majorer $II$ par
un terme dans lequel se reconstruit $B_{m}B_{m}^{*}$ de norme
spectrale bornée par rapport à $m$. Pour $\alpha_{mj}$ on refait un
coup de formule d'inversion :

$$1-b_{mj}^{*}A_{m}b_{mj}=e_{j}^{*}(I-B_{m}^{*}A_{m}B_{m})e_{j}$$


Concernant le spectre de $I-B_{m}^{*}A_{m}B_{m}$ on a

$$(I-B_{m}^{*}A_{m}B_{m})^{-1}=I-\frac{1}{t} B_{m}^{*}B_{m}$$


hermitiennes et dont les valeurs propres sont minorées et
majorées. Ainsi $\alpha_{mj}^{2}$ borné uniformément en $m$, ce qui
permet de conclure (je crois).
J'espère surtout que la norme spectrale de $B_m$ est bornée uniformément en $m$.

Cordialement
O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Samedi 25 Octobre 2008, 01:09

Bonsoir,

Je ne vois pas pourquoi $\beta_{mj}$ peut etre majoré par M.
Car:
$\beta_{mj} \le ||A_m||^2||C_{mj}||^2||b_{mj}||^2$...
Pb: qu'est ce qu'on peut dire à propos de $||b_{mj}||^2$? ici c'est la norme euclidienne, ce qu'on sait nous c'est que la norme spectrale de $B_m$ qui est uniformement bornée par rapport à m...

Edit. juste un petit changement de signe:
$A_{mj}=(B_mB^*_m+tI_N-b_{mj}b^*_{mj})^{-1}$...
Merci
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Samedi 25 Octobre 2008, 10:31

bonjour

il me semble que si la norme spectrale d'une matrice est majorée par $M$
il en est de même pour la norme euclidienne de tous les vecteurs colonnes : prendre chaque élément de
la base canonique ?

O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Samedi 25 Octobre 2008, 21:58

Bonsoir,

En fait, je ne vois pas pourquoi ceci pourrait être vrai?
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Norme spectrale

Messagepar OG » Dimanche 26 Octobre 2008, 18:44

la norme spectrale est par définition la norme subordonnée à la norme vectorielle euclidienne.
$\|A\|_2=\sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$, à partir de là c'est clair vu que $e_j$
va sélectionner $Ae_j$ la $j$ème colonne.

O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2181
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Norme spectrale

Messagepar marimar » Dimanche 26 Octobre 2008, 19:02

oui, oui, désolée tu as tout à fait raison. Je peux donc dans mes hypothèses me contenter de dire que la norme spectrale de $C_m$ est bornée uniformément par rapport à m et ne pas citer la condition sur les lignes et les colonnes: ça va de soi...
marimar
Déca-utilisateur
 
Messages: 49
Inscription: Jeudi 18 Septembre 2008, 11:58
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Suivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 2 invités