Norme au carré

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Norme au carré

Messagepar lat_ex » Mardi 19 Décembre 2006, 15:09

Bonjour,
Soit ($X$, $\| \cdot\|$) un espace de Banach séparable. Soit $(x_n)_n$ une suite dense dans la sphère unité de X (i.e. dense dans {$x$ $\in$ $X$ tq $\|x\|$=1})
Soit $f$ $\in$ $X'$ (le dual de $X$).
Soit la norme $||| \cdot |||$ dans $X'$ défini de la façon suivante:

$$||| f|||^2 = \|f\|^2+ \sum (2^{-i}f^2(x_i))$$



Je n'arrive pas à vérifier que c'est bien une norme.
J'essaye d'utiliser la définition "traditionnelle" de la norme mais j'ai un problème pour l'inégalité triangulaire.
Y a-t-il un mautre moyen de montrer que c'est bien une norme? Pouvez-vous m'aider?
Merci
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Publicité

Messagepar Arnaud » Mardi 19 Décembre 2006, 20:59

Il n'y a pas d'autre hypothèse sur $f$ ?

Si $f$ n'est pas continue, on ne peut pas définir sa norme.

Si elle est continue, cela simplifie un peu les choses.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar bibi6 » Mardi 19 Décembre 2006, 21:08

Hmmm, juste ce que je viens de définir ce matin: "espace de Banach séparable".
Je suppose que la somme porte sur tous les $i \in \N$...
Alors il y a aussi un problème de convention: confirmes-tu que $X' = \{ f: X \rightarrow \R | f \text{est linéaire continue}\}$?
(en tout cas, moi, il est défini comme ça...)
bibi6
Méga-utilisateur
 
Messages: 444
Inscription: Jeudi 23 Novembre 2006, 20:12
Localisation: 59 (Région St Amand les Eaux)
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar lat_ex » Jeudi 21 Décembre 2006, 19:33

Arnaud a écrit:Il n'y a pas d'autre hypothèse sur $f$ ?

Si $f$ n'est pas continue, on ne peut pas définir sa norme.

Si elle est continue, cela simplifie un peu les choses.


oui, effectivement, $f$ est continue . J'utilise la même convention que bibi6.
Excusez-moi, je n'ai pas précisé.
Je ne savais pas qu'il y avait plusieurs manières de définir l'espace dual.
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar kilébo » Jeudi 21 Décembre 2006, 19:37

Pour info, il existe le dual algébrique (où la notion de continuité n'intervient pas) et la notion de dual topologique (où les formes linéaires sont supposées continues).

Selon le contexte, si cela n'est pas précisé, on retrouve souvent de quel dual on parle (en algèbre, le premier, en analyse, le second).

Une confusion peut, par contre, intervenir lors de lecture de documents étrangers où le dual topologique est noté $E^*$ par les anglo-saxons alors que cette notation correspond à notre dual algébrique en France.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar lat_ex » Jeudi 21 Décembre 2006, 19:39

Je suppose que la somme porte sur tous les $i \in \N$...

oui.

Et merci pour l'info Kilebo
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar Tryphon » Jeudi 21 Décembre 2006, 22:45

En général, on note $E^*$ le dual algébrique et $E'$ le dual topologique, il me semble...
Tryphon
Péta-utilisateur
 
Messages: 1840
Inscription: Mercredi 01 Juin 2005, 17:39
Localisation: Un peu plus à l'Ouest
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kilébo » Jeudi 21 Décembre 2006, 22:48

Tryphon a écrit:En général, on note $E^*$ le dual algébrique et $E'$ le dual topologique, il me semble...


Oui, c'est ce que je disais et je faisais remarquer que les anglo-saxons utilisait une autre convention qui pouvait porter à confusion ($E^*$ est le dual topologique chez eux).
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
kilébo
Téra-utilisateur
 
Messages: 1059
Inscription: Samedi 22 Avril 2006, 11:08
Localisation: Région Parisienne
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar lat_ex » Mardi 26 Décembre 2006, 16:39

Arnaud a écrit:Il n'y a pas d'autre hypothèse sur $f$ ?

Si $f$ n'est pas continue, on ne peut pas définir sa norme.

Si elle est continue, cela simplifie un peu les choses.


$f$ est continue. Vois-tu comment on peut démontrer que c'est bien une norme dans ce cas? Merci
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar Arnaud » Mercredi 27 Décembre 2006, 00:54

Ma première réaction en voyant ton exercice était la question de la continuité, pour que le tout soit bien défini, mais je n'ai pas réfléchi à l'inégalité triangulaire.

L'inégalité est claire pour $||f+g||$, donc il suffit de voir pour la somme.

La notation $f^2$ signifie telle $(f)^2$ ou $f \circ f$ ? ( j'aime vraiment pas ces notations... ).
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar lat_ex » Vendredi 29 Décembre 2006, 16:27

Arnaud a écrit:La notation $f^2$ signifie telle $(f)^2$ ou $f \circ f$ ? ( j'aime vraiment pas ces notations... ).


oui, c'est vrai que la notation n'est pas géniale, je n'y ai pas pensé en composant le message.
Et j'avou qu'en lisant ton message,sur le coup , j'ai eu un doute...
Bref, dans la somme c'est $(f(x_i))^2$
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar bibi6 » Vendredi 29 Décembre 2006, 21:30

Ici pas d'ambiguïté possible!
$f: X \rightarrow \R$, donc $f^2$ élève clairement le résultat de $f$ au carré! (à moins que, comme par hasard, le Banach $X$, c'est $\R$...)
Et puis, il faut faire gaffe à ce qu'on peut se permettre -- je pense au terme croisé (je parie que sinon, on est mal pour la majoration!)

$$|||f+g||| ?\leq ? |||f||| + |||g|||\\
 |||f+g|||^2 ?\leq ? (|||f||| + |||g|||)^2 = |||f|||^2 + |||g|||^2 + 2|||f|||.|||g|||$$



Je pense qu'il faut triturer cette dernière inégalité (avec la définition de $|||.|||^2$).
bibi6
Méga-utilisateur
 
Messages: 444
Inscription: Jeudi 23 Novembre 2006, 20:12
Localisation: 59 (Région St Amand les Eaux)
Statut actuel: Actif et salarié

Messagepar Arnaud » Vendredi 29 Décembre 2006, 21:47

bibi6 a écrit:Ici pas d'ambiguïté possible!
$f: X \rightarrow \R$, donc $f^2$ élève clairement le résultat de $f$ au carré! (à moins que, comme par hasard, le Banach $X$, c'est $\R$...)


Ha oui, bien vu, mais le cas particulier ( bien qu'étonnant ) est possible.

Pourquoi mettre la dernière inégalité au carré ?
Il suffirait de voir ce qui se passe pour la somme ( qui converge bien et tout ).
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar lat_ex » Samedi 30 Décembre 2006, 17:44

Arnaud a écrit:Pourquoi mettre la dernière inégalité au carré ?
Il suffirait de voir ce qui se passe pour la somme ( qui converge bien et tout ).

je ne comprend pas...
C'est pas |||$f+g$|||$^2$ $\leq$ |||$f$|||$^2$+|||$g$|||$^2$+2|||$f$|||.|||$g$||| qu'il faut montrer?
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar Arnaud » Dimanche 31 Décembre 2006, 00:02

Regarde le post de bibi6 :wink:
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar lat_ex » Dimanche 31 Décembre 2006, 16:28

oui, je vous ai lu tous les deux mais justement, j'ai pas compris...
lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar Arnaud » Dimanche 31 Décembre 2006, 17:03

Il faut montrer que

$$|||f+g||| \le |||f|||+|||g|||$$

Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Norme au carré

Messagepar lat_ex » Dimanche 31 Décembre 2006, 17:19

Je dois donc montrer ceci :

$$\sqrt{\|f+g\|^2+ \sum (2^{-i}(f+g)^2(x_i))}
 \leq \sqrt{\|f\|^2+ \sum (2^{-i}f^2(x_i))}+ \sqrt{\|g\|^2+ \sum (2^{-i}g^2(x_i))}$$


puisque

$$||| f|||^2 = \|f\|^2+ \sum (2^{-i}f^2(x_i))$$


J'ai déjà essayé ça mais je narrive pas à bien majorer.
Ca me ramène au même problème non? Travailler avec les racines carrés c'est embétant, donc j''élève les membres au carré et je trouve que je dois montrer :

$$|||f+g|||^2 \leq |||f|||^2 + |||g|||^2 + 2 |||f|||. |||g||| $$

lat_ex
Kilo-utilisateur
 
Messages: 152
Inscription: Vendredi 24 Novembre 2006, 10:41

Messagepar Arnaud » Dimanche 31 Décembre 2006, 17:25

Oui, c'est ce qu'a dit bibi6 :wink:
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar bibi6 » Dimanche 31 Décembre 2006, 21:23

Exactement! L'idée est qu'on a la définition de la norme "au carré" -- donc autant en profiter :wink:

Et en plus on aura des termes qui vont disparaître: il y a moyen de faire apparaître à partir du $1^{er}$ membre, les deux termes $|||f|||^2$ et $|||g|||^2$. Reste à voir que ce qui en reste peut être majoré par $2|||f|||.|||g|||$...

Un problème qu'on résoudra en 2007! Meilleurs voeux à tous!
bibi6
Méga-utilisateur
 
Messages: 444
Inscription: Jeudi 23 Novembre 2006, 20:12
Localisation: 59 (Région St Amand les Eaux)
Statut actuel: Actif et salarié

Suivante

Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message
  • Norme
    par jeje56 » Lundi 09 Février 2009, 14:07
    4 Réponses
    314 Vus
    Dernier message par François D. Voir le dernier message
    Dimanche 15 Février 2009, 13:49
  • Norme
    par celtic » Samedi 14 Mai 2011, 12:41
    6 Réponses
    307 Vus
    Dernier message par guiguiche Voir le dernier message
    Jeudi 02 Juin 2011, 12:59
  • Norme $H^{-1}$
    par mokata » Mardi 09 Mai 2017, 10:51
    0 Réponses
    242 Vus
    Dernier message par mokata Voir le dernier message
    Mardi 09 Mai 2017, 10:51
  • Inf et carré
    par dhahri » Dimanche 09 Novembre 2008, 10:27
    2 Réponses
    145 Vus
    Dernier message par dhahri Voir le dernier message
    Dimanche 09 Novembre 2008, 14:59
  • Dérivée norme de f
    par Didou36 » Mercredi 31 Octobre 2007, 10:56
    9 Réponses
    2595 Vus
    Dernier message par Pedro Voir le dernier message
    Samedi 17 Novembre 2007, 20:10

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 4 invités