Norme au carré

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Messagepar Arnaud » Mercredi 03 Janvier 2007, 20:32

Merci bibi6 :wink: c'est corrigé.

Cauchy-Schwarz est une bonne proposition, je me suis embarqué inutilement dans les calculs.

Pour montrer que c'est un produit scalaire, la seule difficulté réside dans le fait que ce soit défini.

Comme la suite $(x_i)_{i \in \N}$ est dense dans $S_1$, on peut conclure par densité sur l'espace tout entier ( à moins d'aller trop vite, comme à mon habitude ).
Mais sans cet argument de densité, cela me semble irréalisable.
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Messagepar lat_ex » Jeudi 04 Janvier 2007, 08:44

bibi6 a écrit:
lat_ex a écrit:c'est ça?

$$  \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) ? \leq ? \sqrt{\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}}  $$


je ne vois pas ...


Vu comme ça, ça me fait penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Peut-être que je me plante, mais ça y ressemble furieusement! (encore faut-il que

$$(.|.): X'^2 \rightarrow \R ; (f,g) \rightarrow (f|g) := \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$


soit un produit scalaire!)


pour rappel: c'est ceci que je dois prouver :

$$\|f\|\|g\|+\sum \dfrac{f(x_i)g(x_i)}{2^i} \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+ \|f\|^2\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^i}+\|g\|^2\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^i} +\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2}.\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2} }$$



Arnaud a écrit:Cauchy-Schwarz est une bonne proposition, je me suis embarqué inutilement dans les calculs.
Pour montrer que c'est un produit scalaire, la seule difficulté réside dans le fait que ce soit défini
Comme la suite $(x_i)_i$ est dense dans $S_X$, on peut conclure par densité sur l'espace tout entier

Qu'est-ce que tu veux dire? Je ne comprend pas.
merci
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Messagepar Arnaud » Jeudi 04 Janvier 2007, 10:05

Si l'inégalité donnée par bibi6 est démontrée, alors c'est presque fini, et il faut pour cela utiliser Cauchy-Schwarz.

Sais-tu ce qu'est un produit scalaire ?
Dans ce cas tu devrais savoir ce que signifie la propriété "défini", qui appartient à sa définition.
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Messagepar lat_ex » Jeudi 04 Janvier 2007, 10:45

Je pense que c'est $\forall$ $f$, $g$, $h$ $\in$ $X$, $\forall$ $a$ $\in$ $\mathbb{R}$
1) $(f|g)$ = $(g|f)$
2) $(f|f)$ $\geq$ 0 et $(f|f)$ = 0 ssi $f$ =0
3) $(af|g)$ = $a(f|g)$
4) $(f+g|h)$ = $(f|h)$ + $(g|h)$

(si ma définition est correct) dans ce cas:
Le 1) est ok par commutativité de $f(x_i)$ et $g(x_i)$
Le 2) est ok car c'est la somme de nombres positifs et $(f|f)$ = 0 ssi $f$ =0 ok aussi
Le 3) est ok puisque $a$ est indépendant de $i$ on peut le sortir de la somme
Le 4) est ok aussi car dans la somme on aura : $(f+g)(x_i)$ $h(x_i)$ donc en distribuant on a $f(x_i)h(x_i)$ + $g(x_i)h(x_i)$ et on peut scinder la somme en deux parties.

Et Cauchy-Schwarz c'est $|(f|g)|$ $\leq$ $\sqrt{(f|f)}$.$\sqrt{(g|g)}$ il me semble.
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Messagepar lat_ex » Jeudi 04 Janvier 2007, 10:50

Ceci serait donc vrai :

$$  \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)  \leq  \sqrt{\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}}  $$




Mais pourquoi tu as parlé de densité Arnaud?
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Messagepar lat_ex » Jeudi 04 Janvier 2007, 15:29

$$ \|f\|\|g\|+ \sum \dfrac{f(x_i)g(x_i)}{2^i}$$



$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+
 \sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$



par Cauchy Schwarz.
Il reste à voir si

$$2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)$$

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Messagepar lat_ex » Vendredi 05 Janvier 2007, 13:44

Je n'arrive pas à prouver cette inégalité. Est-ce que quelqu' un a une idée svp?
(êtes-vous d'accord avec les étapes de calcul précédentes?)
Merci
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Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 20:24

(f|f) = 0 ssi f =0


Mais pourquoi tu as parlé de densité Arnaud?


Cette équivalence n'est pas si simple.
Tu arrives à prouver que $f$ est nulle sur la suite des $x_i$, mais pas sur $X$ tout entier.
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Messagepar lat_ex » Dimanche 07 Janvier 2007, 20:35

$f = 0$ sur un ensemble dense dans $S_X$ donc $f = 0$ sur $S_X$.
Soit $x \in X$ quelconque.
Alors, $\exists y \in S_X$, $\exists r \in \R$ tel que $x = ry$.
$f(x) = f(ry) = rf(y) = r.0 = 0$
Est-ce que le raisonnement vous semble correct?
merci

[Edit: MB] LaTeX. Na pas multiplier les dollars !
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Messagepar Arnaud » Dimanche 07 Janvier 2007, 21:05

Oui.

Tu es allé trop vite sur le fait que le produit scalaire soit défini ( l'équivalence ci-dessus ), et tu voies maintenant pourquoi je dis que l'hypothèse de densité est indispensable ( à mon avis ).
Arnaud

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Messagepar lat_ex » Dimanche 07 Janvier 2007, 21:14

Oui, je pense que j'ai compris : si $(x_i)_{i \in N}$ n'était pas dense dans $S_X$, on n'aurait pas pu conlure.
Donc, c'est ok pour ce point-là.

Maintenant,... avez-vous une idée pour terminer :roll: :oops: ?
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Messagepar lat_ex » Lundi 08 Janvier 2007, 13:01

Bonjour, j'ai une idée pour la fin mais je voudrais être sûr que comme

$$(.|.): X'^2 \rightarrow \R ; (f,g) \rightarrow (f|g) := \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$

est un produit scalaire, j'en déduis que $\|f\|° = \sum\big(2^{-i}f(x_i)f(x_i)\big) $ est une norme ? (norme induite par le produit scalaire)
Merci
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Messagepar Arnaud » Lundi 08 Janvier 2007, 13:29

Oui, effectivement ( norme induite ).

Comme $|||.|||$ est somme de deux normes, je crois que c'est réglé, et du coup exit les calculs compliqués ;)

D'où mes remarques précédentes, mais c'est quand beaucoup mieux que ce soit toi qui trouve :D
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Messagepar lat_ex » Lundi 08 Janvier 2007, 14:13

Arnaud a écrit:Oui, effectivement ( norme induite ).

Comme $|||.|||$ est somme de deux normes, je crois que c'est réglé, et du coup exit les calculs compliqués ;)

oui, ouf !! :D

J'ai encore une petite question, est-ce que je peux affirmer que $\|.\|°$ est une norme équivalente à $\|.\|$ ? Ou bien faut-il utiliser la définition de norme équivalente et tout démontrer?
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Messagepar Arnaud » Lundi 08 Janvier 2007, 14:24

Non tu ne peux pas l'affirmer, et je ne suis pas sûr que ce soit vrai.
Mais rien n'empêche de chercher un encadrement.

En dimension finie c'est toujours vrai, mais on est en dimension infinie là.

J'espère que la solution que tu as pour la norme est correcte, je pense que oui, mais je ne suis pas à l'abris d'un détail m'échappant...
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Messagepar lat_ex » Samedi 13 Janvier 2007, 15:17

Bonjour,
En fait ce que je veux c'est que $||| \cdot|||$ soit équivalente à $\|\cdot \|$.
(Je l'ai fait directement sans montrer que la norme induite par le produit scalaire est équivalente à $\| \|$.)

Il faut montrer que $\exists a , b > 0 $ tels que $ a|||f|||^2 \le \|f\|^2 \le b|||f|||^2$.

Prenons $a = (1+ \sum2^{-i})^{-1}$

$$ |||f|||^2 &=& \|f\|^2 + \sum 2^{-i}f^2(x_i)
 & \le &  \|f\|^2 + \sum 2^{-i} \|f\|^2
 & \le & \|f\|^2 (1+ \sum2^{-i}) $$


Par conséquent

$$ a |||f|||^2 \le \|f\|^2 $$




Et prenons $b = 1$

$$ \|f\|^2 &\le& \|f\|^2 + \sum 2^{-i}f^2(x_i) &=&  |||f|||^2 &=& b |||f|||^2$$



Ok? merci..
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Messagepar linfir » Samedi 13 Janvier 2007, 16:49

Une remarque au passage : l'inégalité de Cauchy-Schwartz est vraie même avec un pseudo produit-scalaire non défini, il suffit de reprendre la démonstration.
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Messagepar lat_ex » Dimanche 14 Janvier 2007, 10:54

linfir a écrit:Une remarque au passage : l'inégalité de Cauchy-Schwartz est vraie même avec un pseudo produit-scalaire non défini, il suffit de reprendre la démonstration.


Bonjour, je ne comprend pas ta remarque.
C'est quoi un pseudo produit-scalaire non défini?
Je dois reprendre quelle démonstration?
Merci
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Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Janvier 2007, 10:56

lat_ex a écrit:C'est quoi un pseudo produit-scalaire non défini?

Ce doit être une forme bininéaire symétrique positive mais non définie positive.
lat_ex a écrit:Je dois reprendre quelle démonstration?

La démo de Cauchy-Schwarz je suppose.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar lat_ex » Dimanche 14 Janvier 2007, 10:59

guiguiche a écrit:
lat_ex a écrit:C'est quoi un pseudo produit-scalaire non défini?

Ce doit être une forme bininéaire symétrique positive mais non définie positive.

Et c'est quoi une forme bilinéaire symétrique positive mais non définie positive?
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