Norme au carré

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Re: Norme au carré

Messagepar lat_ex » Dimanche 31 Décembre 2006, 23:36

[5][bad png file dimensions]



reste à montrer que

[5][bad png file dimensions]


:?:



Bonne année à tous! :xmas:
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Messagepar Arnaud » Lundi 01 Janvier 2007, 16:10

Attention car le passage à la deuxième ligne ( ou deuxième égalité ) est faux :

$$||f+g||^2 \ne (||f||+||g||)^2$$

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Messagepar lat_ex » Lundi 01 Janvier 2007, 18:48

oui c'est

$$||f+g||^2 \leq (||f||+||g||)^2$$



mais ensuite le problème reste le même
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Messagepar Arnaud » Lundi 01 Janvier 2007, 19:51

As-tu écris à quoi correspond

$$|||f|||. |||g|||$$

?
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Messagepar lat_ex » Mardi 02 Janvier 2007, 13:57

c'est:

[5][bad png file dimensions]


On doit donc montrer :

[5][bad png file dimensions]

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Messagepar Arnaud » Mardi 02 Janvier 2007, 14:37

Oui, continue !
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Messagepar lat_ex » Mardi 02 Janvier 2007, 14:38

je vois pas, c'est là que je bloque dans l'inégalité...
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Messagepar Arnaud » Mardi 02 Janvier 2007, 15:05

Compare les termes de gauche et ce qu'il y a sous la racine, et demande toi si le produit de la somme est aussi la somme des produits.
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Messagepar lat_ex » Mardi 02 Janvier 2007, 16:09

c'est ça?

$$  \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) ? \leq ? \sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}  $$


je ne vois pas ...
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Messagepar Arnaud » Mardi 02 Janvier 2007, 16:19

N'oublie pas la racine.

Déjà tu "vois" le terme $||f|| \times ||g||$ de chaque côté.
Il faut essayer de vois si ce que tu écris ( avec la racine évidemment ) est une égalité ou une inégalité.
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Messagepar lat_ex » Mardi 02 Janvier 2007, 17:38

$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \leq \sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2}$$


(égalité si le membre de gauche est positif)


$$\sqrt { \bigg( \|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) \bigg)^2} = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$?\leq? ?=?\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)+\|g\|^2\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big)+\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}$$

ça ressemble mais c'est pas la même chose?
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Messagepar Arnaud » Mardi 02 Janvier 2007, 18:26

Pourquoi tu mets un "inférieur ou égal" dans la première ligne ?

Effectivement il y a des similitudes et des différences, d'où la question : "comparer".
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Messagepar lat_ex » Mardi 02 Janvier 2007, 20:46

Je met inférieur ou égal dans la ces où

$$\|f\|\|g\|+\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$

est négatif. C'est pas possible?
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Messagepar lat_ex » Mercredi 03 Janvier 2007, 13:32

J'ai fait ça je ne sais pas si ça peu m'aider :

$$\sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+2\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$= \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$\leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \bigg(\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)+\bigg(\|f\|\sum\big(2^{-i}g(x_i)\big)\bigg)\bigg(\|g\|\sum\big(2^{-i}f(x_i)\big)\bigg)}$$

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Messagepar Arnaud » Mercredi 03 Janvier 2007, 13:59

Tu ne peux pas faire apparaitre des carrés comme ça, car tu ne sais pas si ces normes sont ou non supérieures à 1.
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Messagepar lat_ex » Mercredi 03 Janvier 2007, 14:51

Tu dis ceci pour :

$$ = \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\|f\|\|g\| \sum \big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$



$$ \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|\|g\|^2 \sum \big(2^{-i}f(x_i)\big)+\|f\|^2\|g\| \sum \big(2^{-i}g(x_i)\big)+\bigg(\sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)\bigg)^2}$$


?
J'ai juste majorer $g(x_i)$ par $\|g\|$. Puisque $g(x_i)$ $\leq$ $\|g\|$ $\|x_i\|$ et $\|x_i\|$ =1. Je ne peux pas?
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Messagepar Arnaud » Mercredi 03 Janvier 2007, 16:08

Oups, mal lu :oops:

Oui dans ce cas c'est correct.
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Messagepar lat_ex » Mercredi 03 Janvier 2007, 18:57

Arnaud a écrit:Oups, mal lu :oops:

Oui dans ce cas c'est correct.

mais malgrè ça, je n'arrive pas à la solution, est-ce que tu as une idée stp? Est-ce que je suis sur la bonne piste? merci
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Messagepar Arnaud » Mercredi 03 Janvier 2007, 20:09

Bon j'ai dû tout réécrire, car je me perdais dans les notations.
Démontrer l'inégalité triangulaire revient donc à démontrer ( si je ne me suis pas trompé ) :

$$\|f\|\|g\|+\sum\dfrac{f(x_i)g(x_i)}{2^{i}} \leq \sqrt{\|f\|^2\|g\|^2+\|f\|^2\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}+\|g\|^2\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}+\sum\dfrac{f^2(x_i)}{2^{i}}.\sum\dfrac{g^2(x_i)}{2^{i}}}$$



Les deux termes sont clairement majorés par $3||f|| \times ||g||$, mais je n'arrive pas à trouver de majoration plus fine pour le terme de gauche.

Là je n'ai pas d'idée supplémentaire à apporter, peut-être qu'à tête reposée... :?
Dernière édition par Arnaud le Mercredi 03 Janvier 2007, 20:23, édité 1 fois.
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Messagepar bibi6 » Mercredi 03 Janvier 2007, 20:22

lat_ex a écrit:c'est ça?

$$  \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big) ? \leq ? \sqrt{\sum\big(2^{-i}f^2(x_i)\big).\sum\big(2^{-i}g^2(x_i)\big)}}  $$


je ne vois pas ...


Vu comme ça, ça me fait penser à l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Peut-être que je me plante, mais ça y ressemble furieusement! (encore faut-il que

$$(.|.): X'^2 \rightarrow \R ; (f,g) \rightarrow (f|g) := \sum\big(2^{-i}f(x_i)g(x_i)\big)$$


soit un produit scalaire!)

@Arnaud: petit croisement de messages, tu t'es planté dans la somme: c'est pas des $2^{-i}$ aux dénos mais des $2^i$.

Mais moi je maintiens que ça sent le Cauchy-Schwarz.
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