Mesure image

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Messagepar brahim121985 » Dimanche 19 Avril 2009, 12:56

bjr,

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ un espace de probabilité, $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réels ,de mesure image identique $P_X=P_Y$ , on a par le théoreme de transfert, $\displaystyle\int_{\Omega} X dP=\int_{\Omega} Y dP$. car $\displaystyle\int_{\Omega} X dP=\displaystyle\int_{\mathbb{R}} I_d \ dP_X=\displaystyle\int_{\mathbb{R}} I_d \ dP_Y=\displaystyle\int_{\Omega} Y dP$
Mais est ce qu'on a pour tout $A \in \mathcal{F} $ : $\displaystyle\int_{A} X \ dP=\int_{A} Y \ dP$ ?

si oui pourquoi ?
merci de répondre.
Dernière édition par brahim121985 le Dimanche 19 Avril 2009, 15:15, édité 1 fois.
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Re: mesure image

Messagepar Tonn83 » Dimanche 19 Avril 2009, 13:42

Non

Tout d'abord, les deux variables aléatoires ne sont pas nécessairement définies sur les mêmes espaces de probabilité. Quand bien même, voici un contre-exemple.

On prend $E=[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue. On prend $X(x)=x$ et $Y(x)=1-x$. Alors les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ ont même loi (pourquoi ?). Mais $\int_0^{1/2}xdx\neq \int_0^{1/2}(1-x)dx$.

Néanmoins, ce qui est vrai, c'est l'égalité suivante: $\int_{X^{-1}(A)}Xd\mu(X)=\int_{Y^{-1}(A)}Yd\mu(A)$. Au passage, tu remarqueras:
$\int_{X^{-1}(A)}Xd\mu(X)=E\left[X1_{X\in A}\right]$. :)
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Re: mesure image

Messagepar brahim121985 » Dimanche 19 Avril 2009, 15:17

désolé j'ai modifié ma question:

$(\Omega,\mathcal{F},P)$ un espace de probabilité, $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réels ,de mesure image identique $P_X=P_Y$ , on a par le théoreme de transfert, $\displaystyle\int_{\Omega} X dP=\int_{\Omega} Y dP$. car $\displaystyle\int_{\Omega} X dP=\displaystyle\int_{\mathbb{R}} I_d \ dP_X=\displaystyle\int_{\mathbb{R}} I_d \ dP_Y=\displaystyle\int_{\Omega} Y dP$
Mais est ce qu'on a pour tout $A \in \mathcal{F} $ : $\displaystyle\int_{A} X \ dP=\int_{A} Y \ dP$ ?
si oui pourquoi ?
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Re: mesure image

Messagepar Tonn83 » Mardi 21 Avril 2009, 15:57

brahim121985 a écrit:désolé j'ai modifié ma question

Et ma réponse reste la même. Affirmer que $X$ et $Y$ suivent les mêmes lois signifient que les mesures images $P_X$ et $P_Y$ sont égales. :roll: Cela ne signifie pas que $X$ et $Y$ sont égales ! Dans mon exemple,
$X+Y=1$ et $X(x)=Y(x)\Leftrightarrow x=1/2$

Les mesures images sont bien les mêmes, car si $0<a<b<1$ alors
$P_Y([a,b])=P(Y\in [a,b])=P(1-X\in [a,b])=P(X\in [1-b,1-a])=(1-a)-(1-b)=b-a$.

Sinon, on peut aussi passer par des calculs d'intégrales d'applications affines. :roll:
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Re: Mesure image

Messagepar huhulecheval » Mardi 21 Avril 2009, 21:37

Tonn, tu es sûr ?

Pour moi la réponse est oui.

Dire qu'elles ont même loi, que les mesure-images sont identiques, c'est dire que $P(X \in A)=P(Y \in A)$. Il ne reste plus qu'à exprimer $P(X \in A)$ en fonction de l'intégrale qu'il a écrite et de même pour $P(Y \in A)$.

Je me trompe peut-être... Une ocassion d'apprendre :wink:

Cordialement,
Huhu

[Comme à mon avis j'ai écrit une bêtise, je vais y réfléchir demain. Bonne nuit à vous.]
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Re: Mesure image

Messagepar brahim121985 » Dimanche 24 Mai 2009, 16:04

bonjour ,
sinon quelle sont les mesurables $A$ pour les quelle la propriété reste vrai ?
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Re: Mesure image

Messagepar Tonn83 » Lundi 25 Mai 2009, 16:41

Bonjour,

Il y a apparemment beaucoup de confusion.

[list=]
[*] Deux variables aléatoires réelles X et Y suivent la même loi <=> $P(X\in A)=P(Y\in A)$ pour tout borélien $A$ de $R$.
[*] Les deux variables aléatoires ne sont pas nécessairement définies sur le même espace de probabilité. D'ailleurs, l'espace de définition de la variable alétoire $X$ a une importance secondaire. Ce qui compte vraiment, c'est la mesure image par X, c'est-à-dire $P(X\in A)$ pour les boréliens $A$ de $R$.
[/list]

@Huhulecheval: Relis mon intervention précédente:
Tonn83 a écrit:Non
ce qui est vrai, c'est l'égalité suivante: $\int_{X^{-1}(A)}Xd\mu(X)=\int_{Y^{-1}(A)}Yd\mu(A)$. Au passage, tu remarqueras:
$\int_{X^{-1}(A)}Xd\mu(X)=E\left[X1_{X\in A}\right]$. :)

J'ajoute aussi ici:
$\int_{X^{-1}(A)}dP=P(X\in A)=P(Y\in A)=\int_{Y^{-1}(A)}dP$ .

Les intégrales écrites par Brahim seraient à relier à $E[X1_{X\in A}]$ comme dit ci-dessus, et non à $P(X\in A)$ comme ton message semblait suggérer.

Aussi, si $(\Omega,F,P)$ est un espace de probabilités, je peux considérer $\Omega\times \Omega$ avec la mesure produit. Si $X:\Omega\rightarrow R$ est une variable aléatoire réelle, j'obtiens naturellement deux variables aléatoires $X_1,X_2:\Omega\times \Omega\rightarrow R$ définies par $X_1(x,y)=X(x)$ et $X_2(x,y)=X(y)$. Les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ suivent la même loi que $X$ (pourquoi?). Mais, pour toute partie mesurable $Z$ de $\Omega$ de mesure non nulle, on a:
$E(X)P(Z)=\int_{\Omega\times Z}X_1dP\times P\neq \int_{\Omega\times Z}X_2dP\times P=\int_ZXdP$


En espérant avoir clarifié certains points,
:D
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Re: Mesure image

Messagepar brahim121985 » Lundi 25 Mai 2009, 21:17

oui merci bq bq pour la réponse !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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