Limite supérieure et mesure

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Limite supérieure et mesure

Messagepar Amandine » Lundi 04 Octobre 2010, 17:03

Bonjour,
Etant donné $\mu$ une mesure et $A_{n}$ un ensemble d'éléments mesurables tel que $\ds\mu \left(\bigcup_{n>0} A_{n}\right) < \infty $, je dois démontrer que

$$\ds\lim_{ n\rightarrow +\infty} \sup \mu (A_{n}) \leq \mu (\lim_{ n\rightarrow +\infty} \sup (A_{n})) $$



J'arrive à là : $\ds\mu \left(\bigcup_{k>n} A_{k}\right) > \sup_{k>n} \mu (A_{k})$ mais je ne vois pas comment le membre de gauche pourrait donner (en passant à la limite)

$$\ds\mu (\lim_{ n\rightarrow +\infty} \sup (A_{n}))$$

car d'après moi il faudrait avoir l'intersection jusqu'à l'infini des unions jusqu'à l'infini à l'intérieur du $\mu$ pour retomber sur la définition de

$$\ds\lim_{ n\rightarrow +\infty} \sup (A_{n})$$



Je ne vois pas non plus comment utiliser l'argument de départ que la mesure n'est pas infinie.
Pourriez vous me guider s'il-vous-plaît?

Merci d'avance!!
Dernière édition par MB le Lundi 04 Octobre 2010, 17:38, édité 2 fois.
Raison: "\sup" et "\bigcup"
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Re: Limite supérieure et mesure.

Messagepar girdav » Lundi 04 Octobre 2010, 17:13

Bonjour,
tu peux poser $\displaystyle B_n:= \bigcup_{k\geq n}A_k$ : la suite ${(B_n)}_{n\in \mathbb N}$ est décroissante et tous ces éléments sont par hypothèse de mesure finie. On a donc par un théorème du cours que $\displaystyle \mu (\bigcap_{n\in\mathbb N}B_n) =\lim_{n\to \infty }\mu (B _n)$.
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Re: Limite supérieure et mesure.

Messagepar Amandine » Lundi 04 Octobre 2010, 17:20

Grand merci pour le théorème Girdav, j'avais oublié!!
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Re: Limite supérieure et mesure.

Messagepar girdav » Lundi 04 Octobre 2010, 17:27

En fait il marche même si un seul élément d'une suite décroissante est de mesure finie, et c'est évidemment le cas ici.
D'ailleurs, ça me fait penser qu'il est intéressant de trouver un exemple où l'inégalité est stricte.
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Re: Limite supérieure et mesure

Messagepar jbbardet » Mercredi 06 Octobre 2010, 16:06

Bonjour,

On peut aussi résoudre l'exercice d'Amandine en appliquant le lemme de Fatou à la suite de fonctions $f_n=1_{\cup A_k}-1_{A_n}$ (mais on peut éventuellement considérer que c'est un peu brutal, et préférer une preuve à la main ; en tout cas, ça fait bien apparaître la condition de l'énoncé).

Quant à la remarque de girdav, il n'est pas très compliqué de voir que l'inégalité peut être stricte : soit $A$ et $B$ deux ensembles mesurables tels que $0<\mu(A)\leq\mu(B)<\mu(A\cup B)<+\infty$ (il n'y a pas beaucoup d'espaces mesurés où ça n'existe pas...). En posant, pour tout $k$, $A_{2k}=A$ et $A_{2k+1}=B$, on obtient facilement que

$$\limsup_{n\rightarrow+\infty} \mu(A_n)=\mu(B)<\mu(A\cup B)=\mu(\limsup_{n\rightarrow+\infty} A_n)$$

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Messagepar girdav » Jeudi 07 Octobre 2010, 18:11

Par exemple, on peut prendre pour $\mu$ la mesure de dénombrement sur $\mathcal P \left(\mathbb N\right)$, $A =\{0\}$ et $B =\{1\}$. On a en posant $A_{2n} =A$ et $A_{2n+1} =B$ que $\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb N} A_n\right) =\mu (A\cup B) =2$, $\varlimsup_nA_n =A\cup B$ donc $\mu(\varlimsup_nA_n) = 2$ alors que $\varlimsup_n\mu(A_n) =1$ en tant que limite supérieure d'une suite constante égale à $1$.
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