MathemaTeX

de **paspythagore** le Lundi 08 Février 2010, 19:37

Bonjour,

Je ne comprends décidément rien à ce devoir.

Je dois déterminer la limite simple puis voir s'il y a convergence uniforme sur $\mathbb{R}^*$ pour une suite de fonctions définie par :

f_0 (t) = 0

, $f_{n+1}(t) = \sqrt{t + f_n(t)}$ pour $t \geq 0$

La limite simple, c'est pour

fixé ?

Mais la relation de récurrence, je ne vois pas.

Merci des indices que vous pouvez me donner.

de **girdav** le Lundi 08 Février 2010, 19:45

Salut,
pour connaître la limite simple on fixe

, ici un réel non nul et on regarde le comportement de la suite $\left(f_n\left(t\right)\right)$ .

de **paspythagore** le Lundi 08 Février 2010, 23:04

Bonsoir,

j'ai eu un exercice sur les suites l'année dernière qui ressemblait mais que je n'ai pas compris :

$u_1 = \sqrt{9}$ et $u_{n+1} = \sqrt{9 + u_n}, n \geq 0$
D'aprés les théorèmes algébriques :

Donc : $l = \dfrac{1 + \sqrt{37}}{2}$

Alors ne connaissant pas les théorèmes algébriques, je n'ai évidemment pas compris.

Est ce qu'ici, l'idée serait la même et on pourrait dire que l^2 - l - t = 0

, d'où $l = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2}$

Donc pour

fixé, la suite de fonction converge simplement ?

Les théorèmes algébriques (et notamment celui qui a servi), je serai heureux de les connaître, merci de votre aide.

de **guiguiche** le Lundi 08 Février 2010, 23:07

oui, c'est cela pour la convergence simple : théorème du point fixe.

de **paspythagore** le Lundi 08 Février 2010, 23:24

Merci,
ça du vite dégainé. Malgré internet, je n'arrive pas à en trouver une définition qui me convienne.

Pour la convergence uniforme sur $\mathbb{R}^*$ , il faut "morceler" $\mathbb{R}^*$ où on peut minorer la fonction par une autre divergente ?

de **girdav** le Mardi 09 Février 2010, 18:15

Quel est la limite que tu trouves?
Sinon pour étudier la convergence uniforme tu regarde si la suite $\sup_{t\in \mathbb R_*} \left|f_n\left(t\right)-f\left(t\right)\right|$ (où

est la limite) tend vers

quand

tend vers l'infini.

de **paspythagore** le Mercredi 10 Février 2010, 22:14

Bonsoir,

Est ce que l'on peut dire que $\sup_{t\in \mathbb R_*} \left|f_n\left(t\right)-l\left(t\right)\right|$ tend vers

, avec $l = \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2}$

$\sup_{t\in \mathbb R_*} \left|f_n\left(t\right)-l\left(t\right)\right|= \dfrac{1 + \sqrt{1 + 4t}}{2}$ qui ne tend pas vers

Donc

converge uniformément sur $\mathbb R_*$ ?

C'est pas très rigoureux mais c'est dans la bonne voie ?

de **girdav** le Jeudi 11 Février 2010, 09:25

Il y a quelque chose qui me chiffonne : comment se fait-il qu'un $\sup$ sur

contienne un

comme résultat?
Pose dans un premier temps $a_n =\sup_{t\in \mathbb R^*}\left| f_n \left(t\right)-l\left(t\right)\right|$ puis essaie, à défaut d'exprimer $a_{n+1}$ en fonction de a_n

, de minorer ou majorer l'un en fonction de l'autre.

de **paspythagore** le Jeudi 11 Février 2010, 18:27

Non désolé, je n'y arrive pas.

de **François D.** le Jeudi 11 Février 2010, 18:40

Question à la cantonade : $\R$ étant complet, ne suffirait-il pas d'essayer de montrer que la suite (f_n)

est « Cauchy uniforme » ou de montrer qu'elle ne l'est pas ? Il me semble en effet qu'essayer de majorer $|f_{n+1}(t)-f_n(t)|$ indépendamment de $t\in\R^*$ pourrait être un peu moins pénible.

de **Aleph** le Vendredi 12 Février 2010, 16:24

J'ai peut-être une piste : $|f_n(t)-f(t)|\leq|f_n(t)-f_{n+1}(t)^2|+|f_{n+1}(t)^2-f(t)|$ .

de **Aleph** le Vendredi 12 Février 2010, 17:44

ce que j'ai proposé ne mène à rien...

de **edouardo** le Vendredi 12 Février 2010, 18:56

Attend !! Déja c'est quoi ce délire sur des théorèmes algèbriques que tu ne connaitrais pas ?
Y a pas besoin de théorèmes compliqués pour comprendre cela : "S'il y a une limite l et que Un+1 = F(Un) alors en passant cette égalité à la limite lorsque
n->l'infini on obtient l = F(l)" !!

Ensuite à toi de te montrer à la main que la suite converge : c'est facile elle est croissante majorée (fais donc un dessin pour voir cette cv "en escalier"!) , et de montrer quelle est la limite parmi les solutions de l=F(l) : ici c'est l =rac( l+t) donc l est la solution positive de l'équation du second degré correspondante (et pas l'autre !) .
Ce n'est qu'après avoir fait cela et l'avoir compris que tu pourras aborder le théorème du point fixe dont je répète tu n'as pas absolument besoin ici.

Quand à la convergence uniforme il faudrait que tu comprennes graphiquement ce que cela veut dire ! peux tu dessiner une suite de fonctions qui cv simplement mais pas uniformément ; vois-tu ce que cela signifie sur un dessin que de converger uniformément ?
C'est quand même cela l'essentiel ! A ce moment là tu comprendras pourquoi ici il faut prendre t=n pour conclure immédiatement que fn ne converge pas uniformément.

Les maths ce ne sont pas des recettes de magie ! Il faut y passer beaucoup, beaucoup de temps pour essayer de comprendre et réaliser que tout se tient.
Excusez-moi d'être un peu virulent..
Ed

de **edouardo** le Vendredi 12 Février 2010, 19:01

Houps ! oublié de préciser au début de mon message que F doit être continue pour pouvoir permettre le passage à la limite.Mais de toute façon c'est le cas ici.
Ed

de **Aleph** le Vendredi 12 Février 2010, 19:17

Moi je suis nul dans les suites de fonctions...

edouardo a écrit:Ensuite à toi de te montrer à la main que la suite converge : c'est facile elle est croissante majorée

Comment fait-on pour la majorer?

de **kojak** le Vendredi 12 Février 2010, 20:04

@edouardo : eh doucement, keep cool

j'sais bien que le volcan fait des siennes là bas, mais ce n'est pas une raison pour que ça déteigne ici :wink:

De plus, merci d'utiliser le mode $\LaTeX$ pour les formules de maths :wink:

de **edouardo** le Vendredi 12 Février 2010, 20:53

Pour majorer la suite ${\left({f}_{n}(t) \right)}_{n\geq 0}$ tu montres par exemple par récurrence que $l=\frac{1+\sqrt{1+4t}}{2}$ la majore. Ce n'est pas difficile à condition de bien utiliser le fait que $l=\sqrt{l+t}$ .

Pour la convergence uniforme tu peux raisonner par l'absurde : si la suite convergait uniformément alors tu pourrais prendre t=n (justifie-le !) et la suite réelle $({f}_{n}(n))$ convergerait . Or....

:mrgreen:

C'est pas le volcan qui a déteint, c'est le vin du civet de lapin. :mrgreen:

Ed

MathemaTeX

Limite des fonctions f_n

Limite des fonctions f_n

Re: limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Re: Limite des fonctions f_n

Qui est en ligne