Les relations d'ordre en prépa

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Les relations d'ordre en prépa

Messagepar kay-lynn » Dimanche 01 Octobre 2006, 13:34

Bonjour, je suis archibloquée sur un problème.
Si quelqu'un pouvait me donner quelques idées et astuces pour me débloquer dans les démonstrations çe serait vraiment génial.

Voici le problème :

Soit $E$, un ensemble non vide.

Partie 1

$\mc{R}$ une relation d'équivalence. Soit $x \in E$, on considère le sous ensemble noté $cl(x)$ défini par $cl(x)= \{y \in E  \text{ tq } x \mc{R} y \}$ c'est à dire l'ensemble des éléments qui sont en relation avec $x$, on l'appelle classe d'équivalence de l'élément $x$ pour la relation $\mc{R}$.

1. Montrer que $cl(x)$ est toujours non vide.
2. Montrer que pour tout $(x,y) \in E^2$, $x \mc{R} y$ ssi $cl(x)=cl(y)$.
3. Montrer que deux classes d'équivalences $cl(x)$ et $cl(y)$ sont donc soit égales soit disjointes.
4. En déduire que les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble $E$.

Partie 2

Soit $\mc{R}$ une relation binaire définie sur l'ensemble des réels par $x \mc{R} y \Leftrightarrow (x^3+2)(y^2+1)=(y^3+2)(x^2+1)$

1. Montrer que $\mc{R}$ est une relation d'équivalence sur $\R$.
2. Préciser, suivant la valeur de $x$, le nombre d'élément que contient la classe du réel $x$.

Partie 3

On se place dans $\Z$. Soit $n \in \N$. On définit sur $\Z $ la relation appelée congruence modulo $n$ par :

$$ \forall (x;y) \in \Z^2, \, x \equiv y \text{ mod } n \Leftrightarrow n \text{ divise } y-x $$



1. Montrer que $\equiv$ est une relation d'équivalence sur $\Z$.
2. Montrer que toute la classe d'équivalence possède un unique représentant dans $[0,n-1]$. Combien la relation possède t'elle de classes d'équivalence ?
3. Montrer que $x$ congru à $y$ modulo $n$ et $x'$ congru à $y'$ modulo $n$ implique $x+x' \equiv y+y' \text{ mod } n$ et $xx'  \equiv yy' \text{ mod } n$.

Ceci est mon premier exercice sur les relations d'ordre et je ne sais absolument pas comment faire les démonstrations! Bref j'ai vraiment besoin d'aide...

[Edit: MB] LaTeX.
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Publicité

Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 13:40

Partie I
1) cours: R est réflexive.
2) cours: R est symétrique
3) déduction de ce qui précède
4) définition d'une partition + 3) + (si nécessaire) 1).

Le reste est plus concret donc sera peut-être plus simple.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8008
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Dimanche 01 Octobre 2006, 13:55

merci, je commence déjà à y voir plus clair.
Mais comment passer du cours :
Si R réflexive $\forall x \in E$, $xRx$ à cl(x) toujours non vide?
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 14:00

$\forall x \in E, xRx \Leftrightarrow x\in cl(x)$
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8008
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Dimanche 01 Octobre 2006, 14:22

merci, je me sens vraiment stupide tout d'un coup...
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 14:25

kay-lynn a écrit:merci, je me sens vraiment stupide tout d'un coup...

C'est souvent le sentiment que ce thème (classe d'équivalence) procure la première fois et même encore les suivantes (voire même quelques années après).
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8008
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Dimanche 01 Octobre 2006, 16:50

est ce quelqu'un a une idée pour la partie 2, 2°. Ai je besoin de me servir du résultat de la question 1?
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar guiguiche » Dimanche 01 Octobre 2006, 17:25

kay-lynn a écrit:est ce quelqu'un a une idée pour la partie 2, 2°. Ai je besoin de me servir du résultat de la question 1?

$x$ étant fixé, quels sont les réels $y$ en relation avec $x$, c'est à dire solution de l'équation ? Tu comptes les solutions (et tu sais qu'il a nécessairement $x$ parmi elles).
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8008
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Mercredi 04 Octobre 2006, 18:52

guiguiche a écrit:$x$ étant fixé, quels sont les réels $y$ en relation avec $x$, c'est à dire solution de l'équation ? Tu comptes les solutions (et tu sais qu'il a nécessairement $x$ parmi elles).


Merci, mais là je ne comprend pas du tout! Est ce que tu pourrais expliquer??
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar Arnaud » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:02

Imagine que $x$ soit une constante dans la relation, et cherche à résoudre l'équation en $y$ ( donc l'inconnue est $y$ ).

Les solutions seront en fonction de $x$, mais ce qu'on cherche ce n'est pas explicitement les solutions, mais plutôt le nombre de solutions.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar Samurai_2k5 » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:03

kay-lynn a écrit:
guiguiche a écrit:$x$ étant fixé, quels sont les réels $y$ en relation avec $x$, c'est à dire solution de l'équation ? Tu comptes les solutions (et tu sais qu'il a nécessairement $x$ parmi elles).


Merci, mais là je ne comprend pas du tout! Est ce que tu pourrais expliquer??


A $x$ fixé tu obtiens un polynome de degré $3$, $x$ etant solution, tu dois pouvoir factoriser par $y-x$.....
Samurai_2k5
Déca-utilisateur
 
Messages: 35
Inscription: Vendredi 22 Septembre 2006, 12:58

Messagepar kay-lynn » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:12

euh... quel polynome dègres 3??
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar Arnaud » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:16

L'égalité au-dessus est équivalent à la recherche d'une racine d'un polynôme de degré 3 en la variable $y$ ( développer et tout mettre sur le membre de gauche ), si on fixe $x$.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:31

en développant j'obtient $ \dfrac{x^3y^2+x^3+2y^2+2}{y^3x^2+y^3+2x^2+2} $
et dois-je factoriser ça par y-x?comment?
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar Arnaud » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:35

Non, il ne faut pas diviser, mais soustraire, puis regrouper les termes de mêmes natures.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
Modérateur
 
Messages: 7111
Inscription: Lundi 28 Août 2006, 12:18
Localisation: Allemagne
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Mercredi 04 Octobre 2006, 19:46

oui merci pour ton aide précieuse!
ça me donne $ -y^3(1+x^2)+y^2(2+x^3)+x^3-2x^2=0$ mais je ne vois pas comment factoriser...
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20

Messagepar guiguiche » Mercredi 04 Octobre 2006, 20:14

Ton regroupement de termes n'est pas judicieux pour pouvoir factoriser l'expression par $y-x$. Par exemple, il y a les termes $x^3 y^2$ et $x^2 y^3$ avec des signes opposés donc ensemble, on obtient $x^2 y^2 (y-x)$ au signe près. De plus, $y^3 -x^3$ correspond à une identité remarquable.
guiguiche
Modérateur
 
Messages: 8008
Inscription: Vendredi 06 Janvier 2006, 15:32
Localisation: Le Mans
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Messagepar kay-lynn » Mercredi 04 Octobre 2006, 20:27

merci je crois que je vais pouvoir me débrouiller maintenant... :D
kay-lynn
Déca-utilisateur
 
Messages: 13
Inscription: Dimanche 01 Octobre 2006, 13:20


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot] et 4 invités