Les espaces vectoriels

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Les espaces vectoriels

Messagepar rougedemoiselle » Jeudi 13 Mars 2008, 10:55

Bonjour,

Puis je avoir de l'aide ?

Voici l'énoncé :
Notons Rn[X], le R-espace vectoriel des polynômrs à coeffficients dans R de degré <=n
Montrer que l'on définit une application de Rn[X] dans R3[X] en associant à tout polynôme P de Rn[X] le reste de sa division euclidienne par le polynome X^4+3X^3+2X²+1. Notons L cette application.
existence de la division euclidienne et que le reste est un élément de l'ensemble d'arrivée.

Solution :
On utilise le principe de la division euclidienne.
Pour tout P R[X], il existe Q et R unique R[X] tels que P(X) = Q(X)( X^4 + 3X^3+ 2X²+1) + R(X)
avec Degre(R) < 4.

Donc, l'application L de R[X] dans R[X] vérifiant L(P) =R est bien définie

et L(R[X]) = R3[X]

C'est bien ça ?
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Re: les espaces vectoriels

Messagepar guiguiche » Jeudi 13 Mars 2008, 11:16

rougedemoiselle a écrit:et L(R[X]) = R3[X]

Sans argument supplémentaire, tu n'as qu'une simple inclusion.
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Re: les espaces vectoriels

Messagepar balf » Jeudi 13 Mars 2008, 11:49

Oui, mais l'autre inclusion est évidente (tout polynôme de degré $\leqslant 3$ est bien un reste, non ?). Il ne faut pas oublier de dire en quoi c'est linéaire.

B.A.
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Re: les espaces vectoriels

Messagepar guiguiche » Jeudi 13 Mars 2008, 12:01

balf a écrit:Oui, mais l'autre inclusion est évidente (tout polynôme de degré $\leqslant 3$ est bien un reste, non ?).

Mais il faut le dire quand même.

balf a écrit:Il ne faut pas oublier de dire en quoi c'est linéaire.

Mince, j'ai raté le plus important (et c'est la partie la plus technique de l'exercice).
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