Inversion de la transformée en Z troisieme expression

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Inversion de la transformée en Z troisieme expression

Messagepar celtic » Jeudi 17 Mai 2007, 18:49

Meme demarche que les 2 exos précedents

$X_{(z)}=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z-0.2)(z+0.5)}$


1. étape 1 : d = deg(dénominateur) – deg(numérateur) ⇒ en déduire le premier échantillon


$X(z)=\ds\sum_{k=0}^{+\infty}x(kT)z^{-k}=x(0)+x(T)z^{-1}+x(2T)z^{-2}+\ldots+$

La différence des degrés est d = deg(dénominateur) – deg(numérateur)=3-2=1

Le $x_0$ n'est pas nulle

Je suppose que l'on fait comme le précedents
Le coefficient des termes de plus haut degré au numérateurs est $4z^3$

$x_0=4$ :?:
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Messagepar kojak » Jeudi 17 Mai 2007, 18:56

Ben non pas ici : comme tu as une différence de $-1$ si tu fais la division, tu vas avoir quelque chose comme $a_{-1} z +a_0 +a_1 z^{-1}+ \ldots+$ et donc tu as un signal en avance de $1$ : donc $x(-1)=4$ et non $x(0)$...
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Messagepar celtic » Vendredi 18 Mai 2007, 17:51

Bonjour Kojak

$X_{(z)}=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z-0.2)(z+0.5)}$


1. étape 1 : d = deg(dénominateur) – deg(numérateur) ⇒ en déduire le premier échantillon


$X(z)=\ds\sum_{k=0}^{+\infty}x(kT)z^{-k}=x(0)+x(T)z^{-1}+x(2T)z^{-2}+\ldots+$

La différence des degrés est d = deg(dénominateur) – deg(numérateur)=2-3=-1

La différence est $-1$ le signal est en avance de 1

Le premier echantillon est:

$x_{(-1)}=4$


2. étape 2 : équation caractéristique, pôles de la TZ. En déduire l'allure de la solution (modes)



Les zéros sont $0.2$ et$-0,5$


notre signal à une forme $+C_10.2^n+C_2(-0.5)^n$ :idea:

Calcul des $C_i$ par les résidus

3. étape 3 : recherche du résidu (mode) associé à chaque pôle


$X(z)= \dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{(z-0,2)(z+0,5)}$

On a 2 poles simples 2 résidus à calculer $z_1=0,2$ et $z_2=-0,5$

Résidus en $z_1=0,2$

$X_{(z)}z^{(n-1)}= [\dfrac{(z-0,2)(4z^3+2z^2-3z+6)z^{(n-1)}}{(z-0,2)(z+0,5)}]_{z=0,2}=[\dfrac{(4z^3+2z^2-3z+6)z^{(n-1)}}{(z+0,5)}]_{z=0,2}=\dfrac{5.512}{0,7}.0,2^{(n-1)}$

Résidus en $z_1=-0,5$

[5][bad png file dimensions]

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Messagepar kojak » Vendredi 18 Mai 2007, 19:50

celtic a écrit:
La différence est $-1$ le signal est en avance de 1

Le premier echantillon est:

$x_{(-1)}=4$
Ca, c'est bon...

celtic a écrit:
2. étape 2 : équation caractéristique, pôles de la TZ. En déduire l'allure de la solution (modes)



Les zéros sont $0.2$ et$-0,5$


notre signal à une forme $+C_10.2^n+C_2(-0.5)^n$ :idea:
Ca aussi...
celtic a écrit:
Calcul des $C_i$ par les résidus

3. étape 3 : recherche du résidu (mode) associé à chaque pôle


$X(z)= \dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{(z-0,2)(z+0,5)}$

On a 2 poles simples 2 résidus à calculer $z_1=0,2$ et $z_2=-0,5$

Oui, c'est bon... mais ceci n'est valable que pour $n\geq \ldots$
Pour les calculs, j'y regarderai plus tard....
A tchao
bonsoir...
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Messagepar celtic » Vendredi 18 Mai 2007, 19:55

J'ai calculer par les résidus pour n>1 ou 2 :?: :?:

Ensuite il faut calculer pour n=0

et pour
$n=1$ $x_{(-1)}=4$

A demain Bye :wink:
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Messagepar kojak » Samedi 19 Mai 2007, 12:22

bonjour Celtic,
celtic a écrit:J'ai calculer par les résidus pour n>1 ou 2 :?: :?:
tu as les résidus pour $n\geq 1$ et d'ailleurs il sont corrects.
celtic a écrit:Ensuite il faut calculer pour n=0
oui... mais comment vas tu t'y prendre ici.....
En fait ici, il faudrait se débrouiller pour enlever ce problème d'avance : tout simplement en écrivant $X(z)=zY(z)$ avec $Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{x(z-0.2)(z+0.5)}$ : tu t'occupes de $Y(z)$ pour les résidus, sachant que t'en as déjà calculé les 3/4 et ensuite tu as alors $x(n)=y(n+1)$....

celtic a écrit:et pour
$n=-1$ $x_{(-1)}=4$
oui
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Messagepar celtic » Samedi 19 Mai 2007, 14:10

Salut Kojak

Pour $n=0$ je pense que l'on a un pole simple aussi $p=0$

$zX_{(z)}=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+0.5)}=[\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{(z-0.2)(z-0.5)}]_{z=0}=\dfrac{6}{(-0.2)(0.5)}=-60$

Pour n=0

$x_n=\dfrac{5.512}{0,7}0,2^{(-1)}-\dfrac{7.5}{0,7}(-0,5)^{(-1)}-60$

$x_n=\dfrac{5.512}{(0,7)(0.2)}-\dfrac{7.5}{(0,7)(-0,5)}-60=0.8$

Je n'ai pas trop compris les différences des degrés

Lorsque d=1 on a $x_0=0$

Lorsque $d=0$ le$x_0=$quelquechose

Lorsque $d=-1$ ou plus là je ne sais pas avec la formule

$X(z)=\ds\sum_{k=0}^{+\infty}x(kT)z^{-k}=x(0)+x(T)z^{-1}+x(2T)z^{-2}+\ldots+$ :?:
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Messagepar kojak » Samedi 19 Mai 2007, 16:22

Cet exo pose problème car le signal n'est pas causal : donc ce n'est plus la transformée unilatérale mais bilatérale.... $X(z)=\ds\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x(k)z^{-k}$ donc la "ruse" consiste à se ramener à la TZ unilatérale en posant $Y(z)=\dfrac{X(z)}{z}$ et donc $X(z)=zY(z)$ comme ça, pour revenir à l'original de $X(z)$, $x(n)$ à partir de celle de $Y(z)$ , $y(n)$, il suffira de faire une avance de $1$ c'est à dire $x(n)=y(n+1)$ : jusuqe là OK :?:
donc $Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+0.5)}$ avec 3 poles $0,0.2,-0.5$.
Ensuite tu veux les résidus de $z^{n-1}Y(z}$ et là, il faut faire attention : (à cause du pôle nul )
Si $n\geq 2$, tu n'as que 2 poles simples $0.2,-0.5$
Si $n=1$ : 3 poles simples : les 3 de départ.. en effet cela donne $z^0Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+0.5)}$ et $z^0=1$
Si $n=0$ : 3 poles mais le $0$ est pôle double... car tu as $z^{-1}Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z^2(z-0.2)(z+0.5)}$.
tu cherches les résidus pas de $Y(z)$ mais ceux de $z^{n-1}Y(z)$

Pour $n=0$, ce n'est pas la peine de se casser la tête, théorème de la valeur initiale...
Pour $n=1$, tu as quasiment tout fait
$y(1)=\dfrac{5.512}{0.2(0.7)}+\dfrac{7.5}{(-0.5)(-0.7)}+\dfrac{6}{(-0.2)(0.5)}$
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Messagepar celtic » Samedi 19 Mai 2007, 16:57

Salut kojak

çà ne ma parait pas simple

Mais pour le debut c'est à dire les différences

Lorsque on un un signal causal on établit
$z^{n-1}X_z$

et pour un non causal on établit $z.X_z$ et $Y_z=\dfrac{X_z}{z}$

J'ai cherché dans le cours mais ans succés

et donc on pose plutot$Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+0.5)}$
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Messagepar kojak » Samedi 19 Mai 2007, 17:07

celtic a écrit:Lorsque on un un signal causal on établit
$z^{n-1}X_z$
oui pour les résidus...

celtic a écrit:et pour un non causal on établit $z.X_z$ et $Y_z=\dfrac{X_z}{z}$

J'ai cherché dans le cours mais ans succés

et donc on pose plutot$Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+0.5)}$

Le plus simple à mon avis est de se ramener à un signal causal et ensuite de faire l'avance, et donc c'est pour ça que je te proposes de passer par ce fameux $Y(z)$ qui lui est la TZ d'un signal causal.
Pour savoir si ton signal original est causal, il faut que la différence des degrés comme tu le fais soit négative : donc ton numérateur a un degré supérieur au dénominateur... car si tu faisais la division tu aurais par exemple ici $X(z)=4z+x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\ldots$ et donc le terme en $4$ du terme $4z$ te donne le $x(-1)$
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Messagepar celtic » Samedi 19 Mai 2007, 21:19

Sans doute une derniere explication

Kojak a écrit:Ensuite tu veux les résidus de $z^{n-1}Y(z}$ et là, il faut faire attention : (à cause du pôle nul )
Si $n\geq 2$, tu n'as que 2 poles simples $0.2,-0.5$
Si $n=1$ : 3 poles simples : les 3 de départ.. en effet cela donne $z^0Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+0.5)}$ et $z^0=1$
Si $n=0$ : 3 poles mais le $0$ est pôle double... car tu as $z^{-1}Y(z)=\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z^2(z-0.2)(z+0.5)}$.
tu cherches les résidus pas de $Y(z)$ mais ceux de $z^{n-1}Y(z)$


Pour $n=0$ c'est OK

Pour$n=1$ c'est ok aussi

Pour $n>2$ là je ne comprends pas :?:
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Messagepar kojak » Dimanche 20 Mai 2007, 10:34

bonjour Celtic,
tu as donc $z^{n-1}Y(z)=z^{n-1}\times\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{z(z-0.2)(z+.5)}=z^{n-2}\times\dfrac{4z^3+2z^2-3z+6}{(z-0.2)(z+.5)}$
après simplification...
donc pour $n\geq 2, n-2\geq 0$, donc le terme $z^{n-2}$ est au numérateur donc tu n'as bien que 2 pôles simples : $0.2$ et $-0.5$ : OK :?:
Dans les autres exos, on n'a pas fait attention à ceci car en fait il n'y avait que le cas $n=0$ qui posait problème où le pôle $z=0$ était en plus : c'est pour cela que je t'ai dit souvent que ton calcul des résidus de $z^{n-1}X(z)$ n'était valable que pour $n\geq 1$... Pour le résidu quand $n=0$, on n'en s'est pas occupé car on l'avait déjà avec le théorème de la valeur initiale : le $x(0)$... Ici, il faut bien car on a ce problème d'avance....
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Messagepar celtic » Dimanche 20 Mai 2007, 11:40

Salut Kojak

j'ai refait et mis au propre les éxos précedents , c'est plus clair et je pense avoir compris celui ci :wink:
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