[L1] Inégalité

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[L1] Inégalité

Messagepar TakTak » Lundi 01 Octobre 2007, 23:10

Bonjour il y a ces 3 inégalités à démontrer :
$-2 \le  \dfrac {x^2 + 3x -1} {x^2+2)} \le 2$

$\sqrt{x+y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}$

Et pour tout $x>0$ ; $sin(x) \le x \le tan(x)$

Et je ne sais pas du tout comment m'y prendre surtout pour la derniere égalité .
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Re: [L1] Inégalité

Messagepar guiguiche » Mardi 02 Octobre 2007, 06:34

1. réduction au même dénominateur
2. élévation au carré
3. étude du signe des fonctions $x\mapsto x-\sin(x)$ et $x\mapsto \tan(x)-x$ (ou si tu as des connaissances de convexité, c'est encore plus rapide).
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Re: [L1] Inégalité

Messagepar TakTak » Dimanche 07 Octobre 2007, 20:16

La derniere egalité : pour tout $x>0 ;x\le tan(x)$ n'est-elle pas fausse ?
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Re: [L1] Inégalité

Messagepar guiguiche » Dimanche 07 Octobre 2007, 20:26

Trace la courbe sur n'importe quel logiciel ou calculatrice et constate de visu que c'est vrai.
Pour la démo, une étude de la fonction $x\mapsto\tan(x)-x$ donne rapidement le résultat en utilisant la bonne forme de la dérivée de la fonction tangente.
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Re: [L1] Inégalité

Messagepar Valvino » Lundi 08 Octobre 2007, 10:22

TakTak a écrit:La derniere egalité : pour tout $x>0 ;x\le tan(x)$ n'est-elle pas fausse ?


Effectivement, prendre $x=\pi$.
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Re: [L1] Inégalité

Messagepar guiguiche » Lundi 08 Octobre 2007, 10:29

Oui, l'inégalité est vraie sur $[0,+\infty[$ avec le sinus mais seulement sur $[0,\frac{\pi}{2}[$ pour la tangente.
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