Géométrie différentielle

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Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Lundi 23 Avril 2012, 22:41

Bonjour,

ne comprenant rien dans cette matière, j'essaie de faire ce sujet d'examen.

Je commence par l'exercice 2 :
On considère la partie $P$ de $\R^3$ définie par :

$P=\{(x,y,z,t,u)\in \R^5$, $ x^2+y^2-z+t+u=1,x-y+z+u^2=1,x^3+y^3=2\}$.

Montrer que $P$ est une sous-variété de classe $\C^{\infty}$ de $\R^5$ ?

Je ne sais pas comment commencer.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Dimanche 29 Avril 2012, 15:39

Pour montrer que $P$ est une sous-variété, il suffit de montrer que la matrice jacobienne de
$ (x^2+y^2-z+t+u-1,x-y+z+u^2-1,x^3+y^3-2)$
est différente de la matrice nulle ?

$$JacP=\begin{pmatrix}2x&2y&-1&1&1\\1&-1&1&0&2u\\3x^2&3y^2&0&0&0\end{pmatrix}\neq0$$



Donc $P$ est une sous variété ?
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Cruptos » Dimanche 29 Avril 2012, 22:49

Bonsoir,

non ce n'est pas ça. Il faudrait revoir le cours sur cette partie. Pour montrer que $P$ est une sous-variété de ${\mathbb R}^5$ Il faudrait en fait montrer que pour tout point $(x,y,z,t,u)\in P$, la matrice jacobienne en ce point est de rang $3$, c'est -à-dire que pour tout $(x,y,z,t,u)\in P$ on peut extraire une sous-matrice $3\times 3$ de la matrice jacobienne en ce point qui soit de déterminant non nul (i.e. inversible). Ensuite il faudra constater que cette variété est de classe $C^{\infty}}$.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Mardi 01 Mai 2012, 10:00

Merci.

Dans mon cours j'ai cette définition qui ne parle pas directement de Jacobien. Rien de beaucoup plus précis. Je sais que les profs de maths globalement refuse de donner des recettes de cuisine. Mais là, seul avec un cours et sans exercices corrigés, il m'est très difficile de comprendre :

Un sous-ensemble $S\subseteq M$ est une sous-variété de dimension $s$ si pour chaque $p\in S$, il existe $\varphi : \mathcal{U}_0\to\mathcal{U}\in\mathscr{A}$ tel que :

1) $p\in\mathcal{U}$
2) $S\cap\mathcal{U}=\varphi\big(\mathcal{U}_0\cap\R^s\times\underbrace{\{0\}\times\cdots\times\{0\}}_{n-s}\big)$


Pour mon exercice, comme on a $x^3+y^3=2$, $x$ et $y$ ne peuvent pas être simultanément nuls.
Si $x\neq0$ les colonnes 1, 3 et 4 du Jacobien forme une matrice 3,3 de déterminant différent de $0$ aux coefficients $C^\infty$, donc $P$ est une sous-variété.
Si $y\neq0$ les colonnes 2, 3 et 4 du Jacobien forme une matrice 3,3 de déterminant différent de $0$ aux coefficients $C^\infty$, donc $P$ est une sous-variété.
Donc $P$ est une sous-variété de dimension $3$.

Si on n'avait pu extraire une matrice de dimension$2$ uniquement, on aurait eu une sous-variété de dimension $2$ ?
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Mercredi 02 Mai 2012, 02:51

L'ensemble $P$ est contenu dans un espace de dimension cinq. Le jeu de trois équations $f_1(M) = f_2(M) = f_3(M) = 0$ qui définit $P$ crée trois contraintes sur les coordonnées des éléments de $P$. On a donc cinq degrés de liberté au départ et on en perd trois à cause des contraintes : il reste deux degrés de liberté pour les éléments de $P$. En d'autres termes, la variété $P$ est de dimension 2 (intuitivement, on peut choisir deux des coordonnées à peu près comme on veut, et les trois équations permettent de calculer les trois autres - attention, il y a pas mal d'imprécisions dans ce que je dis là, mais c'est quand même l'idée, et localement c'est rigoureux grâce au théorème des fonctions implicites). Le fait que les contraintes soient vraiment au nombre de 3 (et pas trois fois la même par exemple, qui ne ferait plus qu'une seule contrainte) est dû au fait que le rang de la matrice jacobienne de l'application $M \mapsto (f_1(M),f_2(M),f_3(M))$ est égal à 3. S'il avait été plus petit, on n'aurait pas su dire (mais on n'aurait pas conclu que la dimension de $P$ est plus grande ; plutôt le fait qu'on a un point singulier, comme par exemple le sommet d'un cône dans $\mathbb R^3$).

En résumé : si $P$ est une partie de $\mathbb R^n$ définie par $k$ équations $f_1(M) = f_2(M) = ... = f_k(M) = 0$ (où les $f_i$ sont des fonctions différentiables de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R$) et si en tout point $M$ de $P$, la différentielle de l'application

$$ M \mapsto (f_1(M), ..., f_k(M)) $$


est de rang $k$ (une application comme cela est appelée une submersion), $P$ est une sous-variété de dimension $n-k$. (Exemple : la sphère $S^2$ de $\mathbb R^3$, définie par l'unique équation $x^2+y^2+z^2=1$ dont la différentielle est de rang 1 [c'est-à-dire, dans ce cas particulier, non nulle] en tout point de $S^2$, est une variété de dimension 3-1 = 2).

Je crois me souvenir que si en plus les $f_i$ sont de classe $C^{\infty}$, $P$ est alors une sous-variété de classe $C^{\infty}$. C'est le cas dans l'exemple proposé.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Mercredi 02 Mai 2012, 21:54

Merci ça m’éclaircit les idées, y compris pour la submersion et l'immersion.

Donc $P$ est une sous variété si le Jacobien est non nul, pour la dimension, j'ai l'impression d'avoir compris.

La question suivante :
Montrer que $P$ n'est pas compacte

Alors là, dur, dur, comme on n'est dans $\R^5$ $P$ compacte $\Longleftrightarrow$ bornée fermée.
Mais pour démontrer que ce n'est pas compact, j'ai deux ecercices corrigés que je ne comprends pas du tout :
1 Montrer que le cône $\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2=z^2,\z\geq0\}$ n'est pas une surface régulière.

Il y a ici un argument topologique : un voisinage $\mathcal{U}$ de $(0,0,0)$ en $\R^3$ ne peut pas être homéomorphe à un disque $D\subseteq\R^2$ car $\mathcal{U}\setminus\{(0,0,0)\}$ n'est pas connexe, tandis que $D\setminus\{\text{point}\}$ l'est.

2 Montrer que $C^{\geq0}=\{(x,y,z)\in\R^3:x^2+y^2=z^2,z\geq0\}$ n'est pas régulière.

Supposons que $C$ soit une surface régulière ; soit $\psi:\mathcal{U}_0\to\mathcal{U}$ un paramétrage local tel que $(0,0,0)\in\mathcal{U}$. Notons $p_0$ l'image réciproque de $(0,0,0)$. Prenons :

$$p^{(1)},p^{(2)},p^{(3)}$$


des points sur $C$ linéairement indépendants sur $\R$, i.e. $\{p^{(1)},p^{(2)},p^{(3)}\}$ est une base de $\R^3$. En addition, choisissons $p^{(1)}$ de norme égale à $1$. Soit $r_n$ une suite de nombres réels strictement positifs qui tends vers zéro et posons :

$$q^{(i)}_n:=\psi^{-1}(r_n.p${(i)}_n).$$


Comme $\psi$ est différentiable en $p_0$, nous avons :

$$r_n.p^{(i)}_n=\psi\left(q^{(i)}_n\right)=0+D\psi(p_0).\left(q^{(i)}_n-p_0\right)+\left|q^{(i)}_n-p_0\right|.R^{(i)}_n$$


$\lim R^{(i)}_n=0$. Comme :

$$v^{(i)}_n:=\dfrac{q^{(i)}_n-p_0}{\left|q^{(i)}_n-p_0\right|}$$


appartiennent au cercle unitaire de $\R^2$ (qui est compact), nous avons le droit de supposer que c'est une suite convergente; notons $v^{(i)}$ sa limite. Donc :

$$\lim \dfrac{r_n-p^{(i)}}{\left|q^{(i)}_n-p_0\right|}=D \psi(p_0).v^{(i)}\neq0$$


Par conséquent, la suite de nombres réels $r_n/\left|q^{(i)}_n-p_0\left|$ est aussi convergente (de Cauchy). Il suit que $D\psi(p_0).v^{(1)}, D\psi(p_0).v^{(2)}, D\psi(p_0).v^{(3)}$ sont linéairement indépendants : c'est une contradiction avec $dim\;D\psi(p_0).\R^2=2$

Je ne sais pas si une des trois méthodes est applicable ici mais je ne comprends pas les 2 dernières, ni sur la forme mais surtout sur le fond, je ne comprends pas comment sont construites les contradictions.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Cruptos » Mercredi 02 Mai 2012, 23:36

Bonjour,

ici, on pourrait peut être montrer que $P$ n'est pas borné.
Les points $x=1,y=1,z=1-u^2, t=-u^2 -u$ sont pour tout $u$ des points de $P$.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Jeudi 03 Mai 2012, 00:29

Oui, $P$ étant fermé comme image réciproque de $O \in \mathbb R^3$ par une application continue, c'est du côté de non borné qu'il faut chercher. Trouver une courbe admettant une branche infinie tracée dans $P$ comme le propose Cruptos est la manière la plus simple.

Les observations concernant le sommet du cône montrent que celui-ci n'est pas une sous-variété au voisinage du sommet. Mais elles n'ont pas de lien particulier avec la compacité. On pourra y revenir plus tard, pour illustrer comment on peut montrer qu'un point 'bizarre' est effectivement un point singulier.

Enfin, attention pour la remarque sur la matrice jacobienne. Il ne suffit pas qu'elle soit non nulle, mais il faut qu'elle soit de rang maximal (ici 3 puisqu'on a une application de $\mathbb R^5$ dans $\mathbb R^3$ et que le rang est toujours inférieur ou égal à la plus petite des deux dimensions. Si la matrice, bien que non nulle, était de rang 2, on ne pourrait pas conclure que P est une sous-variété.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Jeudi 03 Mai 2012, 18:48

Merci.

Je n'avais pas compris qu'il fallait que la matrice jacobienne soit de rang maximal.

...une branche infinie de $P$, c'est par exemple dire qu'en $(x=1,y=1,z=1-u^2, t=-u^2 -u)$ , $z=1-u^2$ n'admet pas de minimum. Donc $P$ n'est pas bornée.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Jeudi 03 Mai 2012, 18:56

Exactement.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Jeudi 03 Mai 2012, 21:04

Merci beaucoup,
ça c'est compris.

Question suivante :
Décrire l'espace tangent $T_{(1,1,1,0,0)}(P)$ comme sous-espace vectoriel de $\R^5$.

J'ai du mal. J'ai fait des exercices plus simples qui consistaient à trouver un paramétrage, le dériver, donner sa valeur en un point et dire que le déterminant des vecteurs formés par le Jacobien en ce point et $x_i$ (quelconque) - les coordonnées du point devaient être égal à $0$. Donc trouver une équation cartésienne.

Mais là, j'ai du mal à trouver un paramétrage qui nous ferait passer de 5 à 4 coordonnées.

Mais es-ce dans ce sens qu'il faut chercher ?
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Jeudi 03 Mai 2012, 23:49

Il y a plusieurs manières de calculer l'espace tangent en un point d'une sous-variété de $\mathbb R^n$. Chaque définition possible d'une sous-variété (il y en a essentiellement trois) conduit à un type de calcul, et il se trouve que la définition par équations (comme c'est le cas pour notre exemple) conduit sans doute au calcul le plus simple.

Primo, qu'est-ce que l'espace tangent? Fixons un point $M_0$ de la variété $V$. Si on considère toutes les courbes différentiables $t \mapsto M(t)$ tracées sur $V$ (c'est-à-dire telles que $M(t) \in V$ pour tout $t$) et passant par $M_0$ à l'instant $0$, on peut démontrer que l'ensemble formé par tous les vecteurs vitesses $M'(0)$ est un espace vectoriel, et c'est cet espace, noté $T_{M_0}(V)$ que l'on appelle espace tangent à $V$ en $M_0$.

Lorsque la variété est définie par des équations $f_1(M) = \cdots = f_k(M) = 0$ (avec des $f_i$ à valeurs réelles, et les conditions rappelées dans les messages précédents sur le rang de la matrice jacobienne), on montre que $T_{M_0}(V)$ est simplement le noyau de la matrice jacobienne de $f = (f_1, \cdots, f_k)$ en $M_0$. A cause de la condition sur le rang, ce noyau a la même dimension $n-k$ que la variété : c'est une bonne chose que l'espace tangent à une courbe soit de dimension 1, à une surface de dimension 2, ...

Dans le cas étudié, il faut donc écrire la matrice jacobienne en $(1,1,1,0,0)$, déterminer son noyau et l'affaire est jouée. Puisque les colonnes 2,3 et 4 sont indépendantes si je ne me trompe pas, on peut par exemple choisir comme paramètres les inconnues 1 et 5 (c'est-à-dire, avec les notations du problème, x et u), et déterminer les trois autres en fonction de ces deux là. On trouvera une représentation paramétrique des éléments du noyau comme combinaison $x \overrightarrow{V_1} + u \overrightarrow{V_2}$ et ceci fournit une base $(\overrightarrow{V_1},\overrightarrow{V_2})$ du noyau, donc de l'espace tangent cherché.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Cruptos » Vendredi 04 Mai 2012, 07:57

paspythagore a écrit:Merci.


...une branche infinie de $P$, c'est par exemple dire qu'en $(x=1,y=1,z=1-u^2, t=-u^2 -u)$, $z=1-u^2$ n'admet pas de minimum. Donc $P$ n'est pas bornée.


oui, ou on peut dire aussi que pour tout réel $u$, le point $(x,y,z,t,u)$ avec $x=1,y=1,z=1-u^2, t=-u^2 -u, z=1-u^2$ appartient à $P$.
Donc comme la coordonnée $u$ peut être prise aussi grande qu'on veut, pour toute boule centrée en $0$, il existe des points de $P$ hors de cette boule, ce qui veut dire que $P$ n'est pas borné.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Samedi 05 Mai 2012, 15:25

Bonjour et merci.

Je m'y remets :
Primo, qu'est-ce que l'espace tangent? Fixons un point $M_0$ de la variété $V$. Si on considère toutes les courbes différentiables $t \mapsto M(t)$ tracées sur $V$ (c'est-à-dire telles que $M(t) \in V$ pour tout $t$) et passant par $M_0$ à l'instant $0$, on peut démontrer que l'ensemble formé par tous les vecteurs vitesses $M'(0)$ est un espace vectoriel, et c'est cet espace, noté $T_{M_0}(V)$ que l'on appelle espace tangent à $V$ en $M_0$.

$t \mapsto M(t)$ c'est notre paramétrage ?

En $(1,1,1,0,0)$, $J_P=\begin{pmatrix}2&2&-1&1&1\\1&-1&1&0&2\\3&3&0&0&0\end{pmatrix}$

Avec la troisième ligne on a $y=-x$, avec la deuxième $z=-x-2u+y=-2x-2u$ et avec la première $t=-2x-u-2y+z=-2x-3u$

Le plan tangent en $(1,1,1,0,0)$ est :
$Ker\;J_p$ c'est à dire l'espace vectoriel défini par $v=x\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0\\-2\\-3\end{pmatrix}\;\forall(x,u)\in\R^2$ passant par $(1,1,1,0,0)$.

Chaque définition possible d'une sous-variété (il y en a essentiellement trois)

Je n'arrive pas à trouver les deux autres méthodes.

Cruptos a écrit:oui, ou on peut dire aussi que pour tout réel $u$, le point $(x,y,z,t,u)$ avec $x=1,y=1,z=1-u^2, t=-u^2 -u, z=1-u^2$ appartient à $P$.
Donc comme la coordonnée $u$ peut être prise aussi grande qu'on veut, pour toute boule centrée en $0$, il existe des points de $P$ hors de cette boule, ce qui veut dire que $P$ n'est pas borné.

Oui merci, j'ai de grosses lacunes. Celle d'être à l'aise pour faire des démonstrations avec les boules et disques me joue bien des tours. J'ai du mal à faire des démonstrations en topologie qui seraient simples si j'avais bien compris ce principe.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Samedi 05 Mai 2012, 20:08

paspythagore a écrit:$t \mapsto M(t)$ c'est notre paramétrage ?

Non, $t \mapsto M(t)$ représente le paramétrage d'une courbe quelconque tracée sur la surface $P$ ($t$ peut être vu comme un temps). La figure jointe montre une surface (dessin en jaune), trois courbes $t \mapsto M(t)$ dessinées sur cette surface (en rouge) et passant par un même point $M_0$ (marqué en bleu). On a aussi dessiné les vecteurs tangents en $M_0$ à ces courbes. Si on dessine comme cela toutes les courbes possibles, et tous les vecteurs tangents possibles, on obtient le plan tangent à la surface en $M_0$. (Pour avoir des vecteurs de longueur différente, il suffit de parcourir une même courbe plus ou moins lentement : cela ne change pas la direction de la vitesse, mais change sa longueur, voire son sens si on parcourt la courbe \og à l'envers \fg).

Image


paspythagore a écrit:
Chaque définition possible d'une sous-variété (il y en a essentiellement trois)

Je n'arrive pas à trouver les deux autres méthodes.

Première manière : une sous-variété de dimension $p$ de $\mathbb R^n$ est localement l'image de $\mathbb R^p$ par une immersion injective (application différentiable de rang $p$) (énoncé à préciser mais je n'ai pas la définition exacte sous les yeux).

Deuxième manière : celle vue dans l'exercice.

Troisième manière : $V$ est une sous-variété de dimension $p$ de $\mathbb R^n$ si pour tout point $M_0$ de $V$, il existe un voisinage $W$ de $M_0$ et un difféomorphisme $\Phi$ entre ce voisinage et un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ tel que $\Phi(V \cap W)$ est l'ensemble des éléments de $U$ dont les $n-p$ dernières coordonnées sont non nulles. Ces difféomorphismes identifient localement la sous-variété à un espace vectoriel de dimension $p$ (une idée qui préfigure la définition des variétés abstraites par les cartes locales, mais ceci nous amènerait un peu loin...).

Cruptos a écrit:oui, ou on peut dire aussi que pour tout réel $u$, le point $(x,y,z,t,u)$ avec $x=1,y=1,z=1-u^2, t=-u^2 -u, z=1-u^2$ appartient à $P$.
Donc comme la coordonnée $u$ peut être prise aussi grande qu'on veut, pour toute boule centrée en $0$, il existe des points de $P$ hors de cette boule, ce qui veut dire que $P$ n'est pas borné.

paspythagore a écrit:Oui merci, j'ai de grosses lacunes. Celle d'être à l'aise pour faire des démonstrations avec les boules et disques me joue bien des tours. J'ai du mal à faire des démonstrations en topologie qui seraient simples si j'avais bien compris ce principe.

Le langage des boules est la manière correcte de formaliser l'idée d'un objet borné ou non. Il est borné quand il existe une boule $B(M,r)$ qui le contient tout entier, il est non borné sinon. Mais ici, avec des coordonnées, on voit que $P$ n'est pas borné simplement parce qu'il existe des points de $P$ dont l'une des coordonnées est arbitrairement grande en valeur absolue, comme te l'indiquait Cruptos.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Samedi 05 Mai 2012, 21:55

Merci, je vais essayer de digérer tout ça.

J'ai deux questions de cours sur ce devoir, je ne sais pas si je dois ouvrir une autre discussion. Je vais essayer de comprendre les deux autres méthodes pour définir une sous-variété. Si non, j'ai d'autres exercices non corrigés sur la géométrie différentielle que je vais bosser dans les jours qui viennent. Merci aussi pour le dessin, il a été fait avec quel logiciel ?

Bonne soirée.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Dimanche 06 Mai 2012, 00:17

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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Dimanche 06 Mai 2012, 08:47

Merci.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar Frédéric Testard » Dimanche 06 Mai 2012, 11:50

J'ai relevé deux étourderies dans le calcul de l'espace tangent.

La première est un détail sans grande importance concernant la matrice jacobienne en $(1,1,1,0,0)$, où il me semble que le 2 à la fin de la deuxième ligne est en fait un 0 (c'est $2u$ et $u=0$). Ce n'est pas bien grave à mon avis parce que la méthode de résolution ensuite est la bonne, mais si on veut une réponse exacte pour l'espace tangent, il faut modifier la formule pour $z$.

L'autre étourderie est plus gênante, et je suis désolé de ne pas l'avoir notée hier. Le système que l'on résoud est un système à 5 inconnues et ses solutions doivent être des vecteurs de $\mathbb R^5$, et non pas de $\mathbb R^3$. La solution doit donc s'écrire :

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & x\\ y & = & -x\\ z & = & -2x\\ t & = & -2x-u\\ u & = & u \end{array} \right. $$


ce qui donne vectoriellement

$$ v = x\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\-2\\0\end{pmatrix}+u\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-1\\1\end{pmatrix} $$


Si on note $v_1$ et $v_2$ les deux vecteurs ci-dessus, le plan tangent à $V$ en $M_0 = (1,1,1,0,0)$ est donc effectivement le plan engendré par $(v_1,v_2)$. Après consultation de quelques documents car ma mémoire n'était plus trop fraîche, il semble qu'en géométrie différentielle, le plan tangent est par convention un plan vectoriel - et non affine -, donc il ne faut pas rajouter ''passant par $M_0$''. Je suppose que c'est par souci de cohérence avec la théorie abstraite des variétés différentiables, qui sont définies intrinsèquement et non comme parties d'un espace vectoriel, et pour lesquelles la notion d'espace passant par un point n'aurait pas de sens.
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Re: Géométrie différentielle

Messagepar paspythagore » Dimanche 06 Mai 2012, 15:47

Merci.

Je m'excuse pour le $2u$ au lieu de $0$, c'était bien une boulette. Avoir donnée un vecteur de $\R^3$ était moins une étourderie, même si je comprends, maintenant, mon erreur.
Quant au plan tangent, j'ai réfléchi avant de donner une représentation affine dont je doutais. Merci de m'avoir expliqué que c'était un espace vectoriel que l'on demandait.
Est ce que l'on aurait pu donner une équation cartésienne en faisant le produit scalaire :

$$\left( \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\\-2\\0\end{pmatrix} \wedge\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-1\\1\end{pmatrix}\right)\cdot  \begin{pmatrix}1-x\\1-y\\1-z\\-t\\-u\end{pmatrix}=0\;?$$

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