Fonctions continues égales presque partout

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Fonctions continues égales presque partout

Messagepar joanie58 » Mercredi 29 Octobre 2014, 17:07

Bonjour,

Je dois montrer que deux fonctions f et g continues définies sur un intervalle $[a,b] \subset R$ sont égales presques partout <=> elles sont égales

J'ai un peu de difficulté à prouver l'implication f et g égales presque partout => f(x) =g(x)

On m'a dit que si f et g sont continue, alors $ \{x \in [a,b] | f(x) \neq g(x)\} $ est un ouvert sur $[a,b]$ (pourquoi??)
et comme f et g sont égale presque partout $u( \{x \in [a,b] | f(x) \neq g(x)\}) = 0$ où u est la mesure de lebesgue

et on a alors que la mesure d'un ouvert qui est nul implique que cette ouvert est vide
on aurait alors f=g

d'abord est-ce que le raisonnement est bon?
et si oui pourquoi $ \{x \in [a,b] | f(x) \neq g(x)\} $ est un ouvert sur $[a,b]$

Merci
joanie58
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Re: Fonctions continues égales presque partout

Messagepar balf » Mercredi 29 Octobre 2014, 19:27

Le raisonnement est bon. Je ne sais pas s'il faut justifier qu'un ouvert de mesure de Lebesgue nulle est vide. En tout cas, l'ensemble des points x de [a ,b] tels que f(x) ≠ g(x) est ouvert parce que son complémentaire, les points où f(x) – g(x) = 0, est fermé puisque f – g est continue.

B.A.
balf
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