[résolu] Fonction sommable à dérivée sommable

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[résolu] Fonction sommable à dérivée sommable

Messagepar lapinos » Samedi 14 Avril 2007, 11:41

La honte, j'ai totalement oublié comment démontrer que :

Si : $f \in C^1$, $f \in \mathcal{L}^1$, $f' \in \mathcal{L}^1$

Alors : $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0$

J'ai d'ailleurs des doutes sur l'hypothèse - est-elle suffisament forte ?

Merci de vos indications !
Dernière édition par lapinos le Samedi 14 Avril 2007, 20:06, édité 2 fois.
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Messagepar guiguiche » Samedi 14 Avril 2007, 12:10

Je ne connais pas ce résultat (ou bien ma mémoire me fait défaut) mais s'il est vrai, je vois bien une intervention de l'inégalité des accroissements finis.
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Messagepar lapinos » Samedi 14 Avril 2007, 15:55

Oops, désolé, j'ai trouvé, c'est vraiment trop neuneu...
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Messagepar guiguiche » Samedi 14 Avril 2007, 17:36

Si tu pouvais mettre [résolu] dans le titre de ton message et indiquer rapidement la méthode utilisée afin qu'un(e) futur(e) forumeur(se) puisse avoir la réponse ou une indication si besoin est, ce serait très sympathique.
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Messagepar lapinos » Samedi 14 Avril 2007, 20:05

Étape par étape...
$f' \in \mathcal{L}^1$
$\int_{-\infty}^\infty |f'(x)| dx$ est définie
$\int_a^\infty |f'(x)| dx$ est définie (puisque $|f'|$ est positive et continue)
$\int_a^\infty f'(x) dx$ est définie
$\lim_{b \to +\infty} \int_a^b f'(x) dx$ existe
$\lim_{b \to +\infty} f(b) - f(a)$ existe
$f$ admet donc une limite en $+ \infty$
Il est ensuite facile de montrer en utilisant la définition de la limite et une minoration que si cette limite est différente de 0, $|f|$ n'est plus sommable.

Et pareil pour l'autre côté.
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Messagepar guiguiche » Samedi 14 Avril 2007, 22:09

Merci.
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