Extrapolation et interpolation

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

Extrapolation et interpolation

Messagepar dhahri » Lundi 02 Juin 2008, 14:48

Bonjour,
j'entend souvent parler de deux notions mathématiques; extrapolation d'une fonction et interpolation? quelle est la différence entre les deux notions? Je vous serez reconnaissant si vous me donnez un lien sur le net qui parle de ces deux notions
Merci davantage pour l'aide
dhahri
Kilo-utilisateur
 
Messages: 129
Inscription: Vendredi 02 Juin 2006, 12:52

Publicité

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar rebouxo » Lundi 02 Juin 2008, 15:46

extrapolation d'une fonction je ne vois pas. Interpoler une fonction c'est à partir d'un certain nombre de points connus (mesurés), se donner un moyen d'approcher la fonction qui est donc inconnue.

On peut interpoler une fonction par des droites (interpolation linéaire) par exemple pour calculer la médiane d'une série statistique définie par des classes, on procède grâce à une interpolation linéaire, ou par des polynômes : Lagrange sont les plus célèbres chez les matheux, mais il y en a d'autres Tchebychev, par exemples. Je pense que les polynômes de Béziers sont aussi une moyen d'interpoler une courbe.

Olivier
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
rebouxo
Modérateur
 
Messages: 6690
Inscription: Mercredi 15 Février 2006, 13:18
Localisation: le havre
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar OG » Lundi 02 Juin 2008, 16:26

Bonjour

Pour l'extrapolation, je n'ai pas vu grand chose dans les livres,
le procédé d'extrapolation de Richardson est utilisé pour
le calcul de série (accélération de convergence).
Pour certains, l'extrapolation c'est juste donner une
valeur en dehors de l'intervalle où tu as les données
(entre les deux bornes : interpolation).

Cordialement
O.G.
OG
Modérateur
 
Messages: 2171
Inscription: Lundi 12 Mars 2007, 11:20
Localisation: Rouen
Statut actuel: Actif et salarié | Maître de conférence

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar acid24 » Lundi 02 Juin 2008, 16:34

Bonjour,
Bien d'accord pour le sens d'interpolation donné par Olivier,

Pour extrapoler, la confusion persiste :
D’après le trésor de la langue française informatisé(un très bon dico pour les « beaux mots »)
EXTRAPOLATION, subst. fém.
A. 1. MATH. Méthode de calcul consistant à établir une courbe théorique à partir de mesures concrètes obtenues dans un champ limité et à en déduire des valeurs en dehors de ce champ.

Cela ressemble donc à de l’interpolation …
Quand on recherche Extrapoler
EXTRAPOLER,
A. MATH. Calculer par extrapolation. Antonyme. interpoler :
1. Ainsi, le mathématicien, lorsqu'il extrapole par analogie, s'expose à voir les faits lui donner un démenti; mais le risque ainsi couru ne saurait lui interdire cette forme d'exploration, pourvu que la logique ne perde jamais ses droits.

Le sens est donc opposé à interpoler !?

A mes yeux extrapoler peut être utilisé au sujet d’un raisonnement, comme une généralisation : un résultat sur l’intégration des fonctions continues peut souvent être généralisé / extrapolé pour obtenir un résultat sur les fonctions continue par morceau, etc …

J’imagine qu’il existe un sens dans les probabilités / statistiques, mais je laisse les experts s’exprimer …
acid24
Kilo-utilisateur
 
Messages: 120
Inscription: Mercredi 22 Mars 2006, 13:46
Localisation: Nantes

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar François D. » Lundi 02 Juin 2008, 20:56

Oui, dans les cours de statistiques que j'ai à assurer (Terminale STG, BTS industriel 1ère année), on utilise les deux notions dans le cadre d'un ajustement, affine ou autre.

On parle d'interpolation lorsque, la courbe d'ajustement étant déterminée à partir d'un nuage de points d'abscisse minimale $x_m$ et d'abscisse maximale $x_M$, on calcule l'ordonnée d'un point de cette courbe pour une valeur de $x\in[x_m;x_M]$ différente des abscisses des points du nuage (on est « entre » les points du nuage) ; l'extrapolation intervient lorsqu'on se place en-dehors de $[x_m;x_M]$ (en général à droite de $x_M$) et, en admettant la validité de la tendance définie par la courbe d'ajustement, qu'on calcule l'ordonnée d'un point d'abscisse $x$ de cette courbe.
François D.
Téra-utilisateur
 
Messages: 1370
Inscription: Dimanche 30 Juillet 2006, 09:04
Localisation: Alsace
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar Framboise » Mardi 03 Juin 2008, 00:38

Bonjour,

Du point de vue intuitif ou empirique, on trace un graphe en fonction de quelques points. On en déduit une évaluation de la valeur de la fonction pour d'autres points grâce à ce tracé. Si les points évalués sont entre les points extrêmes ayant servis à tracer ce graphe, on parle d'interpolation. Si on évalue la fonction pour un point externe aux extrêmes connus, on parle d'extrapolation. On peut formaliser cela par l'arsenal mathématique adéquat et différentes méthodes mathématiques très nombreuses ( dont quelques unes ont été évoquées précédemment ).

L'interpolation et l'extrapolation de fonction sont très similaires par leur principe. La qualité de l'interpolation ou de l'extrapolation vaut seulement par le qualité du tracé approximant.

Lors de mesures physiques, on se retrouve souvent avec des nuages de points pour lesquels on cherche à extraire une relation mathématique. Une des méthodes classique est celle des "moindres carrés". On peut ensuite interpoler et extrapoler au moyen de la fonction ainsi obtenue.

Par analogie, on parle d'extrapolation ( et d'interpolation ? ) non seulement pour les fonctions, par exemple pour des lois, des idées, des concepts...

En dehors des fonctions, on utilise souvent des extrapolation lors de séries/suites, fraction continues et des méthodes d'accélération de convergence.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
Téra-utilisateur
 
Messages: 1150
Inscription: Lundi 21 Mai 2007, 12:57
Localisation: Dordogne
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar dhahri » Mardi 03 Juin 2008, 06:04

Bonjour,
merci bien pour vos réponses, vos éclaircissements sont, pour moi, d'un grand apport. J'ai juste un petit commentaire:
La majorité des intervenants (Framboise et François surtout) ont parlé de l'interpolation lorsqu'on veut chercher la valeur d'une fonction $f$ en un point $x$ entre la valeur minimale du nuage $x_m$ et la valeur maximale du nuage $x_M$. Pour l'extrapolation, c'est le cas ou $x$ n'est pas entre la valeur minimale et celle maximale du nuage. Ma question est de quoi on parle si $x_m=-\infty$ et $x_M=+\infty$?
@ OG, je veux savoir plus sur le procédé d'extrapolation de Richardson, est ce que tu peux me donner un lien sur le net parlant de ça ou le titre d'une référence
Merci infiniment pour vos commentaires
Amicalement
dhahri
Kilo-utilisateur
 
Messages: 129
Inscription: Vendredi 02 Juin 2006, 12:52

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar François D. » Mardi 03 Juin 2008, 08:58

Si une des bornes du nuage est infinie (au fait : à quel type de situation penses-tu ?), on ne pourra à mon avis parler d'extrapolation éventuelle que d'un côté, et si les deux le sont, on ne le pourra pas du tout.
En revanche, l'interpolation telle que définie auparavant reste, évidemment, possible.
François D.
Téra-utilisateur
 
Messages: 1370
Inscription: Dimanche 30 Juillet 2006, 09:04
Localisation: Alsace
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar Framboise » Mardi 03 Juin 2008, 10:34

On a une situation notablement différente selon que l'on veut inter/extra-poler dans des situations telles qu'obtenir la valeur d'une fonction en utilisant des tables précises ou en utilisant des valeurs expérimentales affectées de fluctuations statistiques ( nuages de points ).

On ne peut évidemment pas extrapoler au delà de la "barrière" de l'infini.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
Téra-utilisateur
 
Messages: 1150
Inscription: Lundi 21 Mai 2007, 12:57
Localisation: Dordogne
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar dhahri » Mardi 03 Juin 2008, 15:43

Merci 1000 fois c'est bien claire.
Amicalement
dhahri
Kilo-utilisateur
 
Messages: 129
Inscription: Vendredi 02 Juin 2006, 12:52

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar vbnul » Mardi 03 Juin 2008, 17:16

François D. a écrit:On parle d'interpolation lorsque, la courbe d'ajustement étant déterminée à partir d'un nuage de points d'abscisse minimale $x_m$ et d'abscisse maximale $x_M$, on calcule l'ordonnée d'un point de cette courbe pour une valeur de $x\in[x_m;x_M]$ différente des abscisses des points du nuage (on est « entre » les points du nuage) ;

Bizarre, en analyse numérique on ne parle d'interpolation que lorsque la fonction recherchée passe par tout les points, et on ne parle pas de nuage de points.

François D. a écrit:l'extrapolation intervient lorsqu'on se place en-dehors de $[x_m;x_M]$ (en général à droite de $x_M$) et, en admettant la validité de la tendance définie par la courbe d'ajustement, qu'on calcule l'ordonnée d'un point d'abscisse $x$ de cette courbe.

Aussi vrai en analyse numérique.

Framboise a écrit:Lors de mesures physiques, on se retrouve souvent avec des nuages de points pour lesquels on cherche à extraire une relation mathématique. Une des méthodes classique est celle des "moindres carrés". On peut ensuite interpoler et extrapoler au moyen de la fonction ainsi obtenue.

Dans ce cas là on dit seulement qu'on approxime, pas qu'on interpole (en tt cas dans le vocabulaire que j'ai employé jusqu'à présent).

Comme quoi, vaut mieux préciser de quoi on parle et lire des documents précis :)
Elève ingénieur en Mathématiques Appliquées à Polytech'Nice Sophia Antipolis.
vbnul
Kilo-utilisateur
 
Messages: 153
Inscription: Jeudi 27 Décembre 2007, 16:37
Localisation: Sophia Antipolis
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar Framboise » Mardi 03 Juin 2008, 20:15

Dans ce cas là on dit seulement qu'on approxime, pas qu'on interpole (en tt cas dans le vocabulaire que j'ai employé jusqu'à présent).


Si l'on veut être précis, il faudrait dire que l'on approxime par la fonction, et on peut faire des interpolations/extrapolations sur cette fonction.

Dire que globalement on approxime, pourquoi pas ? Je ne m'y oppose pas.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
Téra-utilisateur
 
Messages: 1150
Inscription: Lundi 21 Mai 2007, 12:57
Localisation: Dordogne
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar François D. » Mercredi 04 Juin 2008, 11:18

Euh ... arriverions-nous à tomber d'accord en disant qu'interpoler est une façon d'approximer ?

OK --> [] :mrgreen:
François D.
Téra-utilisateur
 
Messages: 1370
Inscription: Dimanche 30 Juillet 2006, 09:04
Localisation: Alsace
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar Framboise » Mercredi 04 Juin 2008, 11:41

François D. a écrit:Euh ... arriverions-nous à tomber d'accord en disant qu'interpoler est une façon d'approximer ?

OK --> [] :mrgreen:


Oui. Bien souvent c'est le cas en pratique expérimentale.
J'ai le virus des sciences, ça se soigne ?
Framboise
Téra-utilisateur
 
Messages: 1150
Inscription: Lundi 21 Mai 2007, 12:57
Localisation: Dordogne
Statut actuel: Post-bac | Doctorat

Re: Extrapolation et interpolation

Messagepar vbnul » Mercredi 04 Juin 2008, 17:04

Boah, le vocabulaire varie d'un domaine à un autre, peu importe que ce soit contradictoire ou pas.

Pour moi l'interpolation est très différente de l'approximation et l'extrapolation a un sens un peu moins précis que les 2 premiers mais qu'importe.
L'important c'est que les énoncés soient assez clairs pour qu'on puisse les comprendre.
Elève ingénieur en Mathématiques Appliquées à Polytech'Nice Sophia Antipolis.
vbnul
Kilo-utilisateur
 
Messages: 153
Inscription: Jeudi 27 Décembre 2007, 16:37
Localisation: Sophia Antipolis
Statut actuel: Post-bac | Ecole d'ingénieur


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Bing [Bot], Yahoo [Bot] et 5 invités