Espaces vectoriels

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Messagepar celia » Dimanche 19 Mars 2006, 23:46

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice:
Soit U=(u1,u2,...,un) une famille de vecteurs de K^n qui est muni de sa base canonique (e1,e2,e3,e4). On suppose qu'il existe des salaires a1,...,an tous non nuls tels que:
u1=a1e1 et pour tout k appartenant à [2,n], uk-akek appartient à vect((e1,...,ek)).
Montrer que U est une base de E.
Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre,
par stablité d'un sev par +, j'ai uk appartient à vect((e1,...,ek)), mais je ne sais pas si c'est vraiment utile...
Merci d'avance pour votre aide
celia
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Messagepar rebouxo » Lundi 20 Mars 2006, 08:17

Une base c'est une famille libre.
Il faut que tu montres que ta famille $U$ vérifie :

$$ \sum_1^n \lambda_i u_i =  0 \Rightarrow \forall i \lambda_i = 0 $$



Comme ta famille est de dimension $n$, cela en fera une base.

Merci d'utiliser les balises LaTeX.
rebouxo
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Messagepar acid24 » Mercredi 22 Mars 2006, 15:05

Bonjour,
cet enoncé me semble étrange, si l'on prend , pour $k\in [2,n], ~ u_k=0 $ , on verifie les hypothèses mais la famille $u_k, ~ k\in [1,n]$ n'est pas une base de $K^n$

l'énoncé correct doit être $u_1 = a_1 e_1 ,  \forall k\in [2,n] : u_k - a_k e_k  \in vect(e_1,\dots , e_{k-1}) $

sous cette hypothèse , il me semble que l'on peut montrer le résultat ...
acid24
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Messagepar sotwafits » Mercredi 22 Mars 2006, 15:53

acid24 a écrit:Bonjour,
cet enoncé me semble étrange, si l'on prend , pour $k\in [2,n], ~ u_k=0 $ , on verifie les hypothèses mais la famille $u_k, ~ k\in [1,n]$ n'est pas une base de $K^n$

l'énoncé correct doit être $u_1 = a_1 e_1 ,  \forall k\in [2,n] : u_k - a_k e_k  \in vect(e_1,\dots , e_{k-1}) $

sous cette hypothèse , il me semble que l'on peut montrer le résultat ...

Effectivement

c'est $u_1 = a_1 e_1 ,  \forall k\in [2,n] : u_k - a_k e_k  \in vect(e_1,\dots , e_{k-1}) ^$
sotwafits
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