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de **paspythagore** le Lundi 15 Février 2010, 19:32

Bonjour,

je dois faire l'exercice suivant :

Soit , un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$ . On suppose que est inversible dans $\mathbb{K}$ .

1) Montrer que si est un élément de , on a l'équivalence des cinq conditions suivantes :

a) $E = Ker u \oplus Im u$
b)
c) $Ker u \cap Im u = \left{ 0 \right}$
d)
e)

l'élément de

est une application linéaire, je pensais que c'était un vecteur.
Démontrer a), b) et c)

Par définition de la somme directe a) implique 2) et 3) et 2) et 3) implique 1).

Par définition d'un espace vectoriel

est un sev si $E = Ker u \oplus Im u$

Voilà en fait je ne comprends pas trop ce que l'on me demande, ni à quoi sert ce

est inversible dans $\mathbb{K}$ .

Merci de votre aide.

de **girdav** le Lundi 15 Février 2010, 19:58

Bonjour,
je pense que

est une application linéaire et non un vecteur. Quel sens attribuerait-on au noyau d'un vecteur sinon?
Sinon je crois que dans ce genre d'exercice il faut montrer que a implique b, b implique c, ..., puis que e implique a.
Après il peut y avoir plus simple.

de **paspythagore** le Lundi 15 Février 2010, 20:01

OK merci, donc il faut que je trouve autre chose pour les démonstrations.

de **girdav** le Lundi 15 Février 2010, 20:09

Tu peux essayer les implications qui te paraissent les plus faciles.
Par exemple, comme tu l'as dit a implique b.
Il me semble que c) implique d) n'est pas difficile. (à propos pour la c) je mettrais $\left\{ 0\right\}$ au lieu de

).

de **guiguiche** le Lundi 15 Février 2010, 20:12

paspythagore a écrit:Par définition d'un espace vectoriel est un sev si $E = Ker u \oplus Im u$

Pas du tout.

de **Aleph** le Mardi 16 Février 2010, 02:10

Bonsoir,

paspythagore a écrit:Voilà en fait je ne comprends pas trop ce que l'on me demande, ni à quoi sert ce est inversible dans $\mathbb{K}$ .

L'inversibilité de

dans $\mathbb{K}$ est utile pour conduire ce genre de raisonnement : si $a\in\mathbb{K}$ et a=-a

, alors

. En effet, a=-a

équivaut à 2a=0

et, puisque

est inversible, à $a=2^{-1}\times 0$ .

Attention, la finitude de la dimension de

est une hypothèse très forte que tu dois pleinement exploiter.

Pour les relations d'équivalence, il suffit de montrer $a\Rightarrow b\Rightarrow c\Rightarrow d\Rightarrow e\Rightarrow a$ .
Tu peux bien sûr permuter les propositions dans les implications en gardant

fixé au début et à la fin.

de **paspythagore** le Mardi 16 Février 2010, 11:16

Merci.

de **Aleph** le Mardi 16 Février 2010, 11:34

Dans ton cas, je pense qu'il faut utiliser l'information "

est inversible" en relation avec les deux dernières propositions ( $2\times 2^{-1}=1$ ).

de **paspythagore** le Mardi 16 Février 2010, 13:15

Bonjour,
toujours dur pour moi ces exercices théoriques...

Par définition d'un espace vectoriel est un sev si $E = Ker u \oplus Im u$
Pas du tout.

Si

est élément de l'espace vectoriel fini

, on n'a pas E = Ker u + Im u

et $Ker u \cap Im u = \{0\}$ ?
Ceci prouve a) qui prouve b) et c) ?
Et b) et c) prouve a) ?

Ce n'est pas comme ça qu'il faut faire ?

Pour le d) et le e) je ne sais pas le faire ni par où commencer.

de **Aleph** le Mardi 16 Février 2010, 13:31

Tout ce que tu peux écrire c'est la définition :
$\left(E=\ker(u)\oplus Im(u)\right)\Leftrightarrow \left(E=\ker(u)+ Im(u)\text{ et } \ker(u)\cap Im(u)=\{0\}\right)$
Par contre, puisque

est de dimension finie, le théorème du rang s'applique.

Pour les deux dernières propositions, je pense (je n'ai pas essayé) qu'il faut exploiter l'inversibilité de

pour écrire $u=u^1=u^{2\times 2^{-1}}$ .

de **paspythagore** le Mardi 16 Février 2010, 15:54

Re-bonjour, merci de ton aide.

Tout ce que tu peux écrire c'est la définition :
$\left(E=\ker(u)\oplus Im(u)\right)\Leftrightarrow \left(E=\ker(u)+ Im(u)\text{ et } \ker(u)\cap Im(u)=\{0\}\right)$

C'est la définition de la somme directe.

Par contre, puisque E est de dimension finie, le théorème du rang s'applique.

On peut dire $\dim Im u + \dim \ker u = \dim E$ mais pas $E = \ker u \oplus Im u$ ?

En latex, comment écrit on Im er Ker dans une formule ?

de **Tonn83** le Mardi 16 Février 2010, 15:59

paspythagore a écrit:Ceci prouve a) qui prouve b) et c) ? [...] Ce n'est pas comme ça qu'il faut faire ? Pour le d) et le e) je ne sais pas le faire ni par où commencer.

Hum. Apparemment, tu comprends difficilement le sens de l'énoncé. On ne te demande pas de démontrer (a). Et la propriété (a) ( $E=\ker u\oplus im u$ ) est fausse en général. Par exemple, elle n'est pas vérifiée par l'application linéaire nilpotente de $E=\R^2$ définie par v(x,y)=(0,x). (Calcule le noyau de cette application v et son image. Travailler sur des exemples aide.)

On te demande de démontrer l'équivalence entre les propriétés (a), (b), (c), (d) et (e). Tu devras donc démontrer des implications, par exemple (d) implique (c). Qu'est-ce que cela signifie ?

Si $\ker u=\ker u^2$ , alors tu dois démontrer que $\ker u\cap im u=0$ . Tu dois donc prendre un vecteur

dans l'intersection $\ker u\cap im u$ . Comme $v\in \ker u$ , on a ..... Comme $v\in im (u)$ , on a ..... Etc... et tu dois utiliser l'hypothèse pour en déduire v=0. Donc, le seul vecteur dans l'intersection est le vecteur nul. Et à toi de conclure quelque chose.

Comprends-tu ce qu'on te demande de faire ?

Aleph a écrit:Pour les deux dernières propositions, je pense (je n'ai pas essayé) qu'il faut exploiter l'inversibilité de pour écrire $u=u^1=u^{2\times 2^{-1}}$ .

Attention, u n'est pas inversible, et 1/2 n'est pas un entier quand K est de caractéristique nulle. Je ne vois a priori aucune implication qui nécessite que K soit de caractéristique 2 (mais je ne suis pas infaillible).

Il est possible de démontrer facilement les implications suivantes.
(a)=>(b)=>(c)=>(a) puis (c)<=>(d) puis (a)=>(e)=>(b).

de **paspythagore** le Jeudi 18 Mars 2010, 20:23

Bonjour,
je rentre à reculons dans cet exercice : je ne sais pas faire. J'ai revu mes cours sur les espaces vectoriels mais je n'arrive pas à faire cet exercice "théorique".

Démontrer a), b) et c)

Par définition de la somme directe a) implique b) et c) et b) et c) implique a) ?

$i \ker u=\ker u^2$ , alors tu dois démontrer que $\ker u\cap im u=0$ . Tu dois donc prendre un vecteur

dans l'intersection $\ker u\cap im u$ . Comme $v\in \ker u$ , on a $\Im v = 0$ Comme $v\in \im u$ , on a \textbf{je suis déjà largué} Etc... et tu dois utiliser l'hypothèse pour en déduire v=0

. Donc, le seul vecteur dans l'intersection est le vecteur nul. Et à toi de conclure quelque chose.

Je veux bien un peu plus d'aide, je ne m'en sort pas.

Merci d'avance.

de **Tonn83** le Jeudi 18 Mars 2010, 21:54

paspythagore a écrit:Démontrer a), b) et c)

NON Ce n'est pas ce qu'on te demande. Si tu cherches à démontrer a b ou c séparément tu n'y arriveras pas, pour la simple et bonne raison qu'ils sont uassi faux l'un que l'autre. On te demande d'établir l'équivalence entre a b et c:

Si $E=\ker u\oplus im (u)$ alors $E=\ker u+im (u)$ .
Si $E=\ker u+im(u)$ alors $\ker u\cap im (u)=0$ .
Si $\ker u\cap im(u)=0$ alors $E=\ker u\oplus im(u)$ .

paspythagore a écrit:Par définition de la somme directe a) implique b) et c) et b) et c) implique a) ?

C'est vrai,j mais cela ne suffit pas. Tu as déjà a implique b et a implique c. Tu dois démontrer que c implique a etc.

Tonn83 a écrit:Si $\ker u=\ker u^2$ , alors tu dois démontrer que $\ker u\cap im u=0$ . Tu dois donc prendre un vecteur dans l'intersection $\ker u\cap im u$ . Comme $v\in \ker u$ , on a ..... Comme $v\in im (u)$ , on a ..... Etc... et tu dois utiliser l'hypothèse pour en déduire v=0. Donc, le seul vecteur dans l'intersection est le vecteur nul. Et à toi de conclure quelque chose.

J'avais commis une bête faute de frappe. J'avais écris "\im u" au lieu de "im(u)", ce qui explique pourquoi tu as été largué. Je te conseille de toujours écrire dans le préambule d'un document LaTeX:

\newcommand{\im}{\mbox{Im}\,}

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