Equation différentielle

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Equation différentielle

Messagepar ArtyBours » Jeudi 17 Mars 2016, 16:38

Bonjour,

On définit:
$F(x)=\int e^{-x\sin(t)} dt$

Et on cherche à démontrer que F vérifie:
$xF''(x)+F'(x)-xF(x)=0$

On a :
$F'(x)=-\sin(t)\int e^{-x\sin(t)} dt=-\sin(t)F(x)$

$F''(x)=\sin^2(t)\int e^{-x\sin(t)} dt=\sin^2(t)F(x)$

En remplaçant dans l'équation, on a:

$x\sin^2(t)F(x)-\sin(t)F(x)-xF(x)=0$

Mais après ? Même avec mon formulaire trigonométrique sous la main je sèche :(
Si quelqu'un a une idée je suis preneur,

Cordialement,

Arty
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Re: Equation différentielle

Messagepar kojak » Jeudi 17 Mars 2016, 18:15

Bonjour

ArtyBours a écrit:On définit:
$F(x)=\int e^{-xsin(t)} dt$
Il n'y a pas de bornes à ton intégrale ? bizarre, non ?

ArtyBours a écrit:$F'(x)=-sin(t)\int e^{-xsin(t)} dt=-sin(t)F(x)$
gloups.. tu crois que tu peux sortir le $\sin(t)$ de ton intégrale ? Tu trouves normal d'avoir une dérivée d'une fonction de la variable $x$ qui dépend aussi de $t$ ?

Sinon, je pense que ton équa diff est incorrecte.. Tu as la source ?
pas d'aide par MP
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Re: Equation différentielle

Messagepar ArtyBours » Jeudi 17 Mars 2016, 18:53

Oh mon dieu... Merci beaucoup kojak ! La fatigue aura ma peau pour faire des erreurs pareilles...
L'équation différentielle que je cite au début est celle fournie dans mon énoncé après j'ai effectué le remplacement de F' et F'' parce que j'avais trouvé qui était bien entendu faux...

Il y a bien des bornes $[-\pi /2;\pi /2]$ mea culpa
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Re: Equation différentielle

Messagepar rebouxo » Jeudi 17 Mars 2016, 18:54

Sinon, $F$ ne serait une primitive d'une fonction ?

Olivier
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Re: Equation différentielle

Messagepar ArtyBours » Vendredi 18 Mars 2016, 07:27

@Oliver si en effet cf le début de l'énoncé.

En fait cela se resoud facilement, une fois que l'on a le $\sin^2(t)$ on le réécrit $1-\cos^2(t)$ et tout s'annule parfaitement.

Arty
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