Distance sup(f,g)

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Distance sup(f,g)

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Mars 2016, 11:26

Bonjour à tous.
En relisant un cours de Topo, je suis tombé sr cette démonstration à faire et bien qu'elle soit dirigée je n'arrive pas à la faire.
Démontrer que : $d_\infty (f,g) := \ds\sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))$ est une distance sur l'ensemble $B(X,Y)$ des applications bornées de $X$ dans $Y$.

Bon, je crois comprendre le résultat, j'ai fait un dessin...

Les indications sont (pour l'inégalité triangulaire) :
"écrire l'inégalité recherchée qui concerne trois fonctions $f, g$ et $h$.
Pour un élément $x$ fixé dans $X$, majorer la distance $d_Y(f(x),g(x))$ par la quantité voulue.
Conclure en passant à la limite."

Ecrire l'inégalité recherchée.

$$\ds\sup_{x\in X}d_Y(f(x),h(x))\leqslant\ds\sup_{x\in X}d_Y(f(x),g(x))+\ds\sup_{x\in X}d_Y(g(x),h(x))$$


Majorer la distance...

$$d_Y(f(x_0),h(x_0))\leqslant d_Y(f(x_0),g(x_0))+d_Y(g(x_0),h(x_0))$$


Il faut justifier ? Ca paraît évident pour la distance usuelle.
Pourquoi on peut conclure en passant au $sup$ ?
Dernière édition par paspythagore le Dimanche 20 Mars 2016, 22:26, édité 1 fois.
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Re: distance sup (f,g)

Messagepar balf » Dimanche 20 Mars 2016, 13:49

Ce qui est à justifier est le passage au sup, bien entendu. Il faut d'abord utiliser que

$$ \sup\limits_{a\in A, b\in B}(a+b)\leqslant \sup\limits_{a\in A}a+\sup\limits_{b\in B}b. $$


Grâce à quoi on montre que

$$  d_Y(f(x),h(x))\leqslant \sup\bigl(d_Y(f(x),g(x))+d_Y(g(x),h(x))\bigr) $$


donc

$$  d_Y(f(x),h(x))  \leqslant\sup d_Y(f(x),g(x))+ \sup d_Y(g(x),h(x))$$


et finalement

$$ \sup d_Y(f(x),h(x))  \leqslant\sup d_Y(f(x),g(x))+ \sup d_Y(g(x),h(x)).$$



B.A.
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Re: distance sup (f,g)

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Mars 2016, 16:08

Merci balf.
Bonne journée.
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Re: distance sup (f,g)

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Mars 2016, 16:56

A la relecture, je ne vois pas pourquoi utiliser deux variables $x$ et $y$, mais surtout, je ne comprends pas le "et finalement"...
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Re: distance sup (f,g)

Messagepar balf » Dimanche 20 Mars 2016, 20:27

Bonsoir,

Pour les deux variables, c'est en effet inutile, et même nuisible à la compréhension. Je suis désolé, j'aurais dû vérifier si tout coïncidait avec la question posée. En fait, je me suis fait piéger par la lecture de $B(X,Y)$ et ait écrits $(x,y)$ par mimétisme… C'est corrigé maintenant.

Pour le second point, à la ligne précédente on obtient une majoration de $d_Y(f(x),h(y))$, d'où une majoration du sup du même, puisque le sup est le plus petit des majorants.

J'espère que tout ça est plus clair maintenant.

B.A.
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Re: distance sup (f,g)

Messagepar paspythagore » Dimanche 20 Mars 2016, 22:25

C'est cette phrase qui me fait douter : "Pour un élément $x$ fixé dans $X$, majorer la distance $d_Y(f(x),g(x))$ par la quantité voulue.."
Parce que si c'est vrai $\forall x\in X$, OK.
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Re: distance sup (f,g)

Messagepar balf » Dimanche 20 Mars 2016, 23:59

N'ayant pas le contexte complet sous les yeux, il m'est difficile d'en dire beaucoup plus. Mais le schéma de la démonstration est qu'on écrit l'inégalité triangulaire pour un $x$ quelconque. Puis on passe au sup dans le membre de droite, obtenant $d_Y(f(x),h(x))\leqslant d_\infty(f,g)+ d_\infty(g,h)$, et l'on passe enfin au sup sur le membre de gauche pour obtenir $d_\infty(f,h)\leqslant d_\infty(f,g)+ d_\infty(g,h)$.

B.A.
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