Diagonalisation d'une matrice A

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Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 18:13

Bonsoir et bonne fetes à tous

On considére la matrice A définie par


[5][bad png file dimensions]


[5][bad png file dimensions][5][bad png file dimensions] et là je trouve un déteminant nulle ce qui stoppe l'exo avez vous trouvez la meme chose :?:

Merci de votre aide
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar kojak » Samedi 29 Décembre 2007, 18:30

bonjour Celtic,
Tes valeurs propres sont correctes mais c'est pour tes vecteurs propres que ça ne colle pas :roll:
tu as 2 fois le même vecteur propre, et donc ton déterminant de ta matrice de passage est nul, ce qui est logique...
Comment as tu obtenu tes vecteurs propres $v_1$ et $V_2$ et à quelles valeurs propres sont ils associés :?:
Ensuite comme tu as 2 valeurs propres $1$ et $2$, et comme $2$ a pour ordre de multiplicité 2, il faut, pour que ce soit diagonalisable, que le sous espace propre soit ...
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 18:33

Bonsoir Kojak

est ce que c'est bon :?:


Pour les vecteurs propres je trouve $V_1\begin{pmatrix}-2\\1 \\-1\end{pmatrix}$ $V_2\begin{pmatrix}1\\1 \\3\end{pmatrix}$$V_3\begin{pmatrix}2\\2\\6\end{pmatrix}$
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar Arnaud » Samedi 29 Décembre 2007, 18:55

Ben non, $V_2$ et $V_3$ sont toujours et encore colinéaires, donc le déterminant vaudra encore 0.

Réponds d'abord à la question que te pose kojak à la fin de son post.
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 19:01

$V_1\begin{pmatrix}-2\\1 \\-1\end{pmatrix}$ $V_2\begin{pmatrix}1\\1 \\3\end{pmatrix}$


$P=$$\begin{pmatrix}  -2 & 1   \\ 1 & 1   \\ -1 &  3  \end{pmatrix}$
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar Arnaud » Samedi 29 Décembre 2007, 19:04

$P$ est une matrice carrée ?

Arnaud a écrit:Réponds d'abord à la question que te pose kojak à la fin de son post.
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 19:12

J'ai un théoreme

A est diagonalisable si et seulement si pour chaque valeur propre , la dimension de
E est égale à k, ordre de multiplicité de .
On obtient alors la matrice P en plaçant en colonnes de cette matrice les vecteurs de
base de chaque espace E .
La matrice diagonale D a ses éléments diagonaux dii égaux aux valeurs propres .

Pour$\lambda =1$ on a $V_1\begin{pmatrix}-2\\1 \\-1\end{pmatrix}$ pour $dim E_1=1$

et Pour$\lambda =2$ on a $V_2\begin{pmatrix}1\\1 \\3\end{pmatrix}$ pour $dim E_2=2$ :?:
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar kojak » Samedi 29 Décembre 2007, 19:16

Pour ton théorème, OK...
celtic a écrit:Pour$\lambda =1$ on a $V_1\begin{pmatrix}-2\\1 \\-1\end{pmatrix}$ pour $dim E_1=1$
Oui, c'est bon.
celtic a écrit:et Pour$\lambda =2$ on a $V_2\begin{pmatrix}1\\1 \\3\end{pmatrix}$ pour $dim E_2=2$ :?:
et donc il t'en faut un second mais pas colinéaire de façon à avoir ton plan vectoriel : au fait tu as quoi comme équation pour déterminer ton sous espace propre associé à la valeur propre $2$ :?:
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 19:22

Pour $\lambda=2$

$\begin{cases} 2x+4y-2z=0\\ -x-2y+z=0\\ x+2y-z=0 \end{cases}$
Dernière édition par celtic le Samedi 29 Décembre 2007, 19:26, édité 1 fois.
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar Arnaud » Samedi 29 Décembre 2007, 19:25

Maintenant il faut résoudre ce système.
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 19:28

En fin de compte si je fais par la substitution çà tourne en rond

Par déduction je trouve une solution qui résous ce système $x=1$ ; $y=1$ et $z=3$.
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar kojak » Samedi 29 Décembre 2007, 19:59

tu ne remarques rien pour ton système :?:
simplifie la première par $2$ et la seconde par $-1$ et tu vois que ... :wink:
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 20:02

Oui

Pour $\lambda=2$

$\begin{cases} 2x+4y-2z=0\\ -x-2y+z=0\\ x+2y-z=0 \end{cases}$

$\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$\begin{cases} x+2y-z=0\\ x+2y-z=0\\ x+2y-z=0 \end{cases}$
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar kojak » Samedi 29 Décembre 2007, 20:46

et donc ton système se réduit à une équation $x+2y-z=0$ : équation d'un plan vectoriel (donc de dimension $2$) alors ta matrice est diagonalisable :wink:
Il te reste à trouver 2 vecteurs de ce plan : tu en as déjà choisi un, il te reste à en choisir un autre, mais pas colinéaire à l'autre :wink:
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 20:52

$V_1\begin{pmatrix}-2\\1 \\-1\end{pmatrix}$ $V_2\begin{pmatrix}1\\1 \\3\end{pmatrix}$$V_3\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar kojak » Samedi 29 Décembre 2007, 21:10

Ton $V_3$ ne satisfait pas à ton équation :roll: (et en plus c'est $-V_1$, donc ça ne peut pas fonctionner)
Le plus simple est de choisir une des coordonnées nulle, par exemple ici $y=0$ et donc tu choisis ensuite $x$ et $z$ pour que ça colle sachant que maintenant il te reste $x-z=0$ : ça devrait le faire :wink:
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar celtic » Samedi 29 Décembre 2007, 21:21

$V_1\begin{pmatrix}-2\\1 \\-1\end{pmatrix}$ [5][bad png file dimensions] pour la suite je connais :lol:
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Re: Diagonalisation d'une matrice A

Messagepar kojak » Dimanche 30 Décembre 2007, 10:39

Bonjour,
Ton $V_3$ ne colle pas : attention aux erreurs de calcul :wink:
Tu as $x-z=0$ et $1-(-1)\neq 0$ :wink:
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