[Résolu] Dérivée

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[Résolu] Dérivée

Messagepar paspythagore » Samedi 29 Mai 2010, 16:13

Bonjour,

je dois étudier la dérivabilité de $f$ sur $[-\pi,\pi]$ pour $f(x)=\pi-\lvert x\rvert$
Pour moi elle est dérivable sur tout l'intervalle, mais à priori, elle ne l'est pas aux point $x=n\pi$.

Si je fais par exemple, $\ds\lim_{x\rightarrow -\pi}\left(\dfrac{f(x)-f(-\pi)}{x+\pi}\right)=\ds\lim_{x\rightarrow -\pi}\left(\dfrac{\pi+x}{x+\pi}\right)=1$.

Ca me semble bon, mais ce n'est pas comme ça que je dois procéder, à priori.
Dernière édition par paspythagore le Samedi 29 Mai 2010, 21:56, édité 1 fois.
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Re: Dérivée

Messagepar MB » Samedi 29 Mai 2010, 17:14

La fonction $x \mapsto |x|$ est dérivable partout ?
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Messagepar Jean-charles » Samedi 29 Mai 2010, 17:15

Bonjour
C'est plutôt en 0 qu'il y a un problème.
Un site gratuit, sympathique et convivial pour jouer aux échecs en différé: http://www.antiblitz.net.
Pas d'aide par mp.
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Messagepar paspythagore » Samedi 29 Mai 2010, 18:21

Excusez moi, je vous donne l'examen corrigé en bloc. C'est l'exercice 3 question 1. Pour moi oui, elle est dérivable en $0$.

Pour savoir si une fonction est dérivable, je ne sais plus faire. Merci de m'aider.

http://www.licence.math.upmc.fr/telecharger.php/LM260_examens_2005.pdf?path=UE/LM260/fichiers/5/1
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Re: Dérivée

Messagepar girdav » Samedi 29 Mai 2010, 18:25

Bonjour,
regarde, pour la fonction $x\mapsto \left|x\right|$ la limite à gauche du taux d'accroissement en $0$ et la limite à droite. Qu'en déduire?
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Messagepar paspythagore » Samedi 29 Mai 2010, 18:38

Ca donne $1$ ou $-1$ mais pour la fonction $f(x)=\pi-\lvert x\rvert$ quand $x$ tend vers $0$, ça fait $\pi$ ?
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Messagepar girdav » Samedi 29 Mai 2010, 18:53

Cette question vient du fait que tu confonds continuité et dérivabilité en un point. Ici, "on voit bien que" la fonction est continue en $0$. Mais elle n'est pas dérivable en $0$ car on a bien vu que les dérivées à gauche et à droite ne sont pas les mêmes.
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Messagepar MB » Samedi 29 Mai 2010, 18:57

On a pour tout $x \ne a$ :

$$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = - \dfrac{|x|-|a|}{x-a}$$



Tu dois donc étudier la limite pour $x \rightarrow a$. Comme tu peux le constater, il n'y a pas de problème si $a > 0$ (puisque le quotient vaut -1) ni pour $a < 0$ (puisque le quotient vaut 1). A toi de voir ce qui se passe pour $a=0$ (tu devrais constater qu'il est nécessaire de distinguer limite à gauche et limite à droite).
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Messagepar paspythagore » Samedi 29 Mai 2010, 21:05

J'ai tellement bien compris que je ne sais pas si on parle de la fonction $f(x)=\lvert x\rvert$ ou $f(x)=\pi-\lvert x\rvert$

Pour : $f(x)=\lvert x\rvert$
On a en $0^+$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{x}{x}=1$
On a en $0^-$ : $\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} = \dfrac{-x}{x}=-1$
$f(x)$ n'est pas dérivable en $0$

Pour : $f(x)=\pi-\lvert x\rvert$
On a en $\pi^+$ : $\dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \dfrac{\pi-x}{x-\pi}=-1$
On a en $\pi^-$ : $\dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \dfrac{\pi-x}{x-\pi}=-1$
$f(x)$ est dérivable en $0$
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Messagepar MB » Samedi 29 Mai 2010, 21:27

paspythagore a écrit:Pour : $f(x)=\pi-\lvert x\rvert$
On a en $\pi^+$ : $\dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \dfrac{\pi-x}{x-\pi}=-1$
On a en $\pi^-$ : $\dfrac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi} = \dfrac{\pi-x}{x-\pi}=-1$
$f(x)$ est dérivable en $0$


Tu viens juste de prouver qu'elle était dérivable en $\pi$.
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Messagepar girdav » Samedi 29 Mai 2010, 21:42

paspythagore a écrit:J'ai tellement bien compris que je ne sais pas si on parle de la fonction $f(x)=\lvert x\rvert$ ou $f(x)=\pi-\lvert x\rvert$

La dérivabilité en $0$ deux ces deux fonctions est équivalente sans faire le moindre calcul (l'une est l'image de l'autre par une application dérivable, bijective et de réciproque dérivable (enfin même de classe $\mathcal C^{\infty}$, mais ça ne nous intéresse pas)). Tu peux donc prendre celle qui t'arrange. Prendre la première permet toutefois de simplifier les calculs (bien qu'ils ne soient pas non plus insurmontables dans le cas de la seconde).
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Messagepar paspythagore » Samedi 29 Mai 2010, 21:56

Merci.
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Re: [Résolu] Dérivée

Messagepar Tonn83 » Dimanche 30 Mai 2010, 09:26

La fonction qu'on te demande d'étudier est une fonction $f$ $2\pi$-périodique définie par $f(x)=\pi-|x|$ pour $-\pi\leq x\leq \pi$. Que vaut-elle sur l'intervalle $[-3\pi,-\pi]$ ? La fonction est-elle continue ? Quel est le signe de $f(x)$ pour un réel $x$ quelconque ?
Tu peux aussi constater que $x\mapsto |x|$ est affine par morceaux (sais-tu ce que ça veut dire ?). Qu'en est-il de la fonction $f$ ? Peux-tu alors conclure ?
----------------------------
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