Dérivée norme de f

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Dérivée norme de f

Messagepar Didou36 » Mercredi 31 Octobre 2007, 10:56

Bonjour,

J'aimerais savoir si quelqu'un pourrais m'aider à démarrer dans cet exercice :

$\vec{f}$ est une fonction vectorielle, dérivable en a et $\vec{f}(a)\ne0$

Il faut démontrer qu'alors $||\vec{f}||$ est dérivable en a et déterminer $||\vec{f}||'(a)$ (avec les fonctions coordonnées et sans).

J'ai écrit la définition de la dérivée : $\vec{f}'(a) = \ds\lim(\frac{\vec{f}(t)-\vec{f}(a)}{t-a})$

Merci d'avance pour votre aide.
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar dark_forest » Mercredi 31 Octobre 2007, 12:20

Bonjour,

As-tu appris à différentier l'application $x \longrightarrow < x,x > $ ? Si c'est le cas je peux te proposer une méthode tres rapide pour répondre à ta question.
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar José » Mercredi 31 Octobre 2007, 12:27

Bonjour,
tu peux commencer par trouver la différentielle de $x\to ||x||$ en un point $x\neq 0$... ($||x||=\sqrt{<x,x>}$)

[EDIT] Bonjour, DarkForest
En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar Didou36 » Mercredi 31 Octobre 2007, 19:38

Bonsoir,

Merci pour vos réponses, mais je n'ai pas encore les différentielles!

Connaissez vous une autre méthode?

Cordialement.
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar kojak » Jeudi 01 Novembre 2007, 13:47

Bonjour,
si tu écris que $||\vec{f}(t)||^2=\vec{f}(t).\vec{f}(t)$ et que tu dérives de chaque côté, tu as directement ton résultat, non :roll:
Quelle est la dérivée du membre de gauche :?: de droite :?: et comme en $a$ , $\vec{f}(a)\neq0$, tu conclus.
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar Didou36 » Jeudi 01 Novembre 2007, 15:45

Merci, mais pour le membre de gauche, c'est justement celui qu'on cherche, peut-on donc dire que la dérivée de f(t)*f(t) est égale au carrée de la dérivée de la norme de f ?
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar kojak » Jeudi 01 Novembre 2007, 16:56

Ben oui, 2 fonctions égales ont leur dérivée égale, mais la réciproque est fausse..
donc la dérivée de gauche est $2||f(t)||\times \left(||f(t)||\right)'$ (dérivée de $u^2$ qui est $2uu'$) et à droite ça donne $2\vec{f}(t).\vec{f'}(t)$, et donc en $a$, tel que $||f(a)||\neq 0$, tu as ton résultat....
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar Didou36 » Jeudi 01 Novembre 2007, 21:55

d'accord merci.
Mais après puisqu'on veut juste (||f(a)||)' on aura une racine carrée pour le résultat?
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar kojak » Vendredi 02 Novembre 2007, 12:55

bonjour,
Didou36 a écrit:Mais après puisqu'on veut juste (||f(a)||)' on aura une racine carrée pour le résultat?
:shock: Euh....
Je ne suis pas certain que tu aies bien lu ce que j'ai écrit :roll: En dérivant ma relation, on a alors :
$2||f(t)||\times \left(||f(t)||\right)'=2\vec{f}(t).\vec{f'}(t)$ et là, je ne vois pas de racine carrée :roll:
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Re: Dérivée norme de f

Messagepar Pedro » Samedi 17 Novembre 2007, 20:10

Bonsoir :
Ce qu'on fait cette année pour calculer la differentielle d'une application d'un espace vectoriel dans un espace vectoriel est qu'on essaye de trouver une application linéaire linéaire continue de $\ E $ dans $\ F $ tel que : $\ f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||) $.
Donc, tu as l'expression de $\ f $ c'est la racine carré du produit scalaire qui est une application bilinéaire ( une deuxième methode consiste d'utiliser une decomposition en deux applications differentiables ici la l'application racine carré et l'application bilinéaire produit scalaire ) , tu calcules $\ f(x+h) - f(x) $ tu trouveras $\ L(h) $ et $\ o(||h||) $. essaye et tu verras, on fait toujours comme ça !! ensuite montre que c'est une application linéaire continue !! et voilà c'est la differentielle en $\ x $ !! et ceçi pour tout x dans l'ensemble de depart !! donc c'est la differentielle ! voilà !!
Pedro
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