MathemaTeX

de **paspythagore** le Mardi 16 Mars 2010, 23:07

Bonjour,

j'attaque des problèmes de dénombrement et j'ai du mal.

Au loto sportif, on fait des pronostics sur matchs et on doit faire un choix par match parmi les possibilités (gagné, perdu ou nul), je dois dénombrer les grilles pour lesquelles toutes les réponses sont exactes et celles toutes les réponses sont fausses

Des grilles où toutes les réponses sont exactes il n'y en a qu'une.
Celles où tout est faux, je pensais $2^{13}$ , deux possibilités pour

grilles.

Mais je doute et je ne sais pas l'expliquer.

de **rebouxo** le Mercredi 17 Mars 2010, 09:56

Un petit arbre pour démarrer ?

Olivier

de **paspythagore** le Mercredi 17 Mars 2010, 10:24

Oui des arbres puis des graphes...

La question suivante : dénombrer les grilles pour que 3 réponses précisément soient exactes.

Il s'agit des combinaisons (collections non ordonnées) de

éléments pris parmi les

possibles.

$\dbinom{13}{10} = \dfrac{13!}{3!(13 - 3)!} = 286$

Merci de me dire où je me suis trompé et comment construire (ou planter) mon arbre pour comprendre ce que je fais.

de MC le Mercredi 17 Mars 2010, 12:17

Ben non. Dans ton décompte, là, tu choisis trois réponses parmi treize correspondant aux résultats. Il y a dix autres réponses ne correspondant pas au résultat. Mais chacune de ces réponses a deux façons de ne pas correspondre au résultat (puisqu'il y a trois résultats possibles).

de **PRND** le Mercredi 17 Mars 2010, 12:26

paspythagore a écrit:La question suivante : dénombrer les grilles pour que 3 réponses précisément soient exactes.

Il s'agit des combinaisons (collections non ordonnées) de éléments pris parmi les possibles.

$\dbinom{13}{10} = \dfrac{13!}{3!(13 - 3)!} = 286$

Merci de me dire où je me suis trompé et comment construire (ou planter) mon arbre pour comprendre ce que je fais.

Bonjour

Ce n'est pas ça. Il faut se poser la question : quelle succession de choix est-on amené à faire ? et compter le nombre de possibilité à chaque fois.

de **paspythagore** le Mercredi 17 Mars 2010, 13:26

S'il n'y a qu'une réponse exacte, cela fait

possibilités, si il y en a

, cela fait $13 \times 12$ possibilités ?

de **Tonn83** le Mercredi 17 Mars 2010, 15:51

Suis le conseil de PRND. Prends le problème à l'envers. Imagine qu'un individu ayant créé une machine à remonter le temps assiste aux 13 matchs disputés. Il prend soin de bien noter les résultats sur un carnet. Il retourne dans le passé et achète une grille du loto sportif. Un scénario digne des plus grands nanards américains (voir Retour vers le futur). S'il répond juste à toutes les cases, le poteau rose sera découvert. Le règlement signale bien qu'il est interdit d'utiliser une machine à remonter le temps :mrgreen:

Il décide donc de donner le bon résultat à seulement 3 matchs sur les 13 (ni vu ni connu). Comment doit-il procéder ?

Il doit choisir les 3 matchs pour lesquels il doit apporter les bonnes réponses. Cela fait .... choix possibles.
Pour les 3 matchs sélectionnés, il doit inscrire le résultat qu'il a noté dans son carnet. Cela fait ... choix possibles.
Pour chacun des 10 autres matchs, il doit choisir une mauvaise réponse parmi les deux restantes (sachant qu'il connait d'avance le résultat). Cela fait ... choix possibles par match, et donc ... choix possibles.

Maintenant, réponds à la question qui t'a été posé !

de **paspythagore** le Mercredi 17 Mars 2010, 17:11

Comment doit-il procéder ?

* Il doit choisir les 3 matchs pour lesquels il doit apporter les bonnes réponses. Cela fait $\dbinom{3}{13}$ choix possibles.
* Pour les 3 matchs sélectionnés, il doit inscrire le résultat qu'il a noté dans son carnet. Cela fait

choix possibles.
* Pour chacun des 10 autres matchs, il doit choisir une mauvaise réponse parmi les deux restantes (sachant qu'il connait d'avance le résultat). Cela fait

choix possibles par match, et donc $\dbinom{2}{10}$ choix possibles.

de fp le Mercredi 17 Mars 2010, 18:25

paspythagore a écrit:Comment doit-il procéder ?

* Il doit choisir les 3 matchs pour lesquels il doit apporter les bonnes réponses. Cela fait $\dbinom{3}{13}$ choix possibles.

Plutôt $\dbinom{13}{3}$ ...

* Pour les 3 matchs sélectionnés, il doit inscrire le résultat qu'il a noté dans son carnet. Cela fait choix possibles.
* Pour chacun des 10 autres matchs, il doit choisir une mauvaise réponse parmi les deux restantes (sachant qu'il connait d'avance le résultat). Cela fait choix possibles par match, et donc $\dbinom{2}{10}$ choix possibles.

Vous voulez dire $\dbinom{10}{2}$ , je suppose ?

Et si ,au lieu de 13 matchs, il n'y en avait que 4 ?

FP.

de **paspythagore** le Mercredi 17 Mars 2010, 18:46

Merci, pour les combinaisons, je me suis trompé (j'ai inversé)

S'il n'y avait que 4 matchs

Pour les 3 matchs sélectionnés, il doit inscrire le résultat qu'il a noté dans son carnet. Cela fait 1 choix possibles.
* Pour l'autre match, il doit choisir une mauvaise réponse parmi les deux restantes (sachant qu'il connait d'avance le résultat). Cela fait 2 choix possibles par match, et donc

choix possibles.

Ce qui voudrait dire que :
Pour chacun des 10 autres matchs, il doit choisir une mauvaise réponse parmi les deux restantes ce serait plutôt : $2^{10}$

de **Tonn83** le Mercredi 17 Mars 2010, 18:58

paspythagore a écrit: * Pour chacun des 10 autres matchs, il doit choisir une mauvaise réponse parmi les deux restantes (sachant qu'il connait d'avance le résultat). Cela fait choix possibles par match, et donc $\dbinom{2}{10}$ choix possibles.

Non. Il a bien

choix par match, mais pour chacun des 10 matchs qu'il a sélectionnés. Donc ça fait 2 choix pour le premier, puis 2 choix pour le second, puis 2 choix pour le troisième etc ... Donc, $2^{10}$ choix possibles au total. :wink:

Comprends-tu pourquoi ? Et au final, combien y a-t-il de grilles comportant exactement trois bonnes réponses ? Bonne chance.

de **paspythagore** le Mercredi 17 Mars 2010, 19:11

J'aurai tendance à tout multiplier $\dbinom{13}{3} \times 2^{10}$ une possibilité de l'un associé à une de l'autre.

de **Tonn83** le Jeudi 18 Mars 2010, 00:02

Exactement. Pour chacun des $C_{13}^3$ possibilités, tu as $2^{10}$ possibilités. Donc tu as $C_{13}^3\times 2^{10}$ possibilités. (Tu ajoutes $2^{10}$ $C_{13}^3$ fois à lui-même.) Maintenant, pour aller plus loin :

Quelle est la proportion de grilles ayant exactement trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?
Combien y a-t-il de grilles comportant au moins trois bonnes réponses ?
Quelle est la proposition de grilles ayant au moins trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?
Si on prend le loto sportif comme un pur jeu de hasard, et qu'on réponde sans tenir compte de la qualité des équipes, y jouer est-il rentable ?

de **paspythagore** le Jeudi 18 Mars 2010, 11:17

* Quelle est la proportion de grilles ayant exactement trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?
Le nombre de possibilités est $\dbinom{13}{3} \times 2^{10}$

La proportion : ça divisé par les $3^{13}$ combinaisons possibles.

* Combien y a-t-il de grilles comportant au moins trois bonnes réponses ?

Le nombre de possibilités est $\dbinom{13}{3} \times 3^{10}$

* Quelle est la proposition de grilles ayant au moins trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?

La proportion : ça divisé par les $3^{13}$ combinaisons possibles.

* Si on prend le loto sportif comme un pur jeu de hasard, et qu'on réponde sans tenir compte de la qualité des équipes, y jouer est-il rentable ? C'est un impôt le but est que ça engrange plus d'impôts que de gain pour les parieurs.

S'il faut au moins

grilles pour gagner, cela fait $\dbinom{13}{10} \times 3^3$ possibilités de gagner sur $3^{13}$ combinaisons possibles.

de fp le Jeudi 18 Mars 2010, 12:44

paspythagore a écrit:* Quelle est la proportion de grilles ayant exactement trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?
Le nombre de possibilités est $\dbinom{13}{3} \times 2^{10}$

La proportion : ça divisé par les $3^{13}$ combinaisons possibles.

* Combien y a-t-il de grilles comportant au moins trois bonnes réponses ?

Le nombre de possibilités est $\dbinom{13}{3} \times 3^{10}$

Non. C'est $3^{13}-\dbinom{13}{0}\times2^{13}-\dbinom{13}{1}\times2^{12}-\dbinom{13}{2}\times2^{11}$ .

Si, au lieu de 13 matchs, vous en aviez 4, le nombre de grilles comportant au moins 3 bonnes réponses est égal au nombre de grilles comportant exactement 3 bonnes réponses ( $\dbinom{4}{3}\times2^1=8$ ) plus le nombre de grilles comportant exactement 4 bonnes réponses (il n'y en a évidemment qu'une), soit au total 9.
Avec votre formule, vous trouveriez $\dbinom{4}{3}\times3^1=12\dots$

* Quelle est la proposition de grilles ayant au moins trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?

La proportion : ça divisé par les $3^{13}$ combinaisons possibles.

* Si on prend le loto sportif comme un pur jeu de hasard, et qu'on réponde sans tenir compte de la qualité des équipes, y jouer est-il rentable ? C'est un impôt le but est que ça engrange plus d'impôts que de gain pour les parieurs.

S'il faut au moins grilles pour gagner, cela fait $\dbinom{13}{10} \times 3^3$ possibilités de gagner sur $3^{13}$ combinaisons possibles.

Non plus.

FP.

de **paspythagore** le Jeudi 18 Mars 2010, 18:13

* Quelle est la proportion de grilles ayant exactement trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?
Le nombre de possibilités est $\dbinom{13}{3} \times 2^{10}$

La proportion : ça divisé par les $3^{13}$ combinaisons possibles.

Ca n'est pas ce que l'on vient de faire plus haut ?

S'il faut au moins 10 grilles pour gagner

En reprenant votre raisonnement à l'envers, ça donne : $\dbinom{13}{13} 2^0 + \dbinom{13}{12} 2^1 + \dbinom{13}{11} 2^2 + \dbinom{13}{10} 2^3$

de fp le Jeudi 18 Mars 2010, 18:23

paspythagore a écrit:
* Quelle est la proportion de grilles ayant exactement trois bonnes réponses ? Valeur approchée ?
Le nombre de possibilités est $\dbinom{13}{3} \times 2^{10}$

La proportion : ça divisé par les $3^{13}$ combinaisons possibles.

Ca n'est pas ce que l'on vient de faire plus haut ?

Oui, ça c'est correct.

S'il faut au moins 10 grilles pour gagner

En reprenant votre raisonnement à l'envers, ça donne : $\dbinom{13}{13} 2^0 + \dbinom{13}{12} 2^1 + \dbinom{13}{11} 2^2 + \dbinom{13}{10} 2^3$

Oui.

FP.

de **paspythagore** le Jeudi 18 Mars 2010, 19:02

Et bien merci.

Une dernière question quand on parle de probabilité sans rien préciser, on cherche un nombre entre

et

?

de **rebouxo** le Jeudi 18 Mars 2010, 22:04

En général une proba c'est compris entre

et

.

Olivier

de **paspythagore** le Vendredi 19 Mars 2010, 00:03

Merci.

MathemaTeX

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