Convolution et inégalité

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Convolution et inégalité

Messagepar dhahri » Dimanche 06 Avril 2008, 07:34

Bonjour,
on sait que si $f$ et $g$ sont deux fonction de $L^1(R)$ alors on a

$$\|f*g\|_1\leq\|f\|_1\|g\|_1$$


Ma question est: l'inégalité précédente reste-t-elle vraie dans le cas où $f$ et $g$ sont deux fonction de $L^2(R)$ ? c'est à dire a-t-on

$$\|f*g\|_2\leq\|f\|_2\|g\|_2$$


$f$ et $g$ sont deux fonction de $L^2(R)$
Merci bien davantage pour votre aide
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar dark_forest » Dimanche 06 Avril 2008, 15:20

Bonjour,

Il me semble que ca ne marche pas en général pour des fonctions de $L^2$.

L'inégalité $\|f*g\|_1 \leq \|f\|_1 \|g\|_1$ est un cas particulier de l'inégalité suivante :

Si $1/p+1/q=1/r+1$, alors $\|f*g\|_r \leq \|f\|_p \|g\|_q$. Voici un lien où c'est expliqué plus en détail : http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9ga ... 9_de_Young
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar balf » Dimanche 06 Avril 2008, 21:06

Après quelques recherches, ce qui est vrai, c'est que $f*g\in L^\infty(\mathbf R)$ et que :
$||f*g||_\infty\leqslant ||f||_2\cdot||g||_2$.

Si $f\in L^1(\mathbf R)$, $g\in L^2(\mathbf R)$, alors $f*g\in L^2(\mathbf R)$ et :
$||f*g||_2\leqslant ||f||_1\cdot||g||_2$.

B.A.
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar dhahri » Lundi 07 Avril 2008, 05:33

Bonjour. Merci bien pour votre aide, je crois que l'inégalité suivante peut me servir
balf a écrit:Si $f\in L^1(\mathbf R)$, $g\in L^2(\mathbf R)$, alors $f*g\in L^2(\mathbf R)$ et :
$||f*g||_2\leqslant ||f||_1\cdot||g||_2$.

B.A.

Balf a dit qu'après quelque recherches il a trouvé cette inégalité. Peux tu me donner le lien ou tu as trouvé cette inégalité ou m'indiquer le titre de la référence ou on peut la trouver.
Merci bien encore une autre fois
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar José » Lundi 07 Avril 2008, 08:33

Bonjour,
on a même :
Si $f\in L^1$ et $g\in L^p$ avec $p\geq 1$ alors $f*g\in L^p$ et $||f*g||_p\leq||f||_1||g||_p$.
Pour le montrer il suffit dans le cas p fini d'appliquer l'inégalité de Hölder avec la mesure $f(x)dx$ si p est infini c'est évident...
En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar dhahri » Lundi 07 Avril 2008, 08:44

Bonjour, merci josé pour l'indication. Mais en tenant compte de cette indication voila ce que ou est ec que je suis arrivé:

$$\|f*g\|_{p}^{p}=\int_{R}|\int_{R}f(y)g(x-y)dy|^{p}dx$$


Mais je ne sais pas comment majorer le deuxième membre de cette égalité en utilisant la mesure $f(x)dx$. Je te serais reconnaissant si tu me donne un petit coup de pouce
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar José » Lundi 07 Avril 2008, 09:10

$|f*g(x)|^p=|\int f(x-t).g(t)dt|^p \leq |\int f(x-t)^p.g(t)dt|.|\int 1^q.g(t)dt|^{p/q}$ puis en intégrant d'abord par rapport à x :
$\|f*g\|_p^p\leq \|f\|_p^p.\|g\|_1^{p/q+1}=\|f\|_p^p.\|g\|_1^p$ car $p/q+1=p$ et en prenant la racine p-ième on a ce que tu cherches...
En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José
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Re: Convolution et inégalité

Messagepar dhahri » Lundi 07 Avril 2008, 10:37

Merci bien José et merci bien pour tous, c'est bien claire
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