MathemaTeX

de **Mello** le Vendredi 19 Mars 2010, 14:36

salut

je cherche des indices pour démontrer si les intégrales suivantes sont convergentes ou non.
1) $\int_{1}^{-1}\frac{dx}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx$
2) $\int_{1}^{+\infty }\log(\cos(\frac{1}{x}))\frac{dx}{\log x}dx$
merci.

de OG le Vendredi 19 Mars 2010, 14:43

Merci d'expliquer ici ce que tu as déjà fait, même si cela n'a pas abouti.

O.G.

de **Mello** le Vendredi 19 Mars 2010, 14:51

merci "O.G"

pour le (1)
si je note $f:x\mapsto \frac{1}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}$ ,

n'est pas définie ni en 1 ni -1.
je pense que je dois décomposer l'intégrale,pour appliquer la définition,non ?

de OG le Vendredi 19 Mars 2010, 14:58

Mello a écrit:merci "O.G"
pour le (1)
si je note $f:x\mapsto \frac{1}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}$ , n'est pas définie ni en 1 ni -1.
je pense que je dois décomposer l'intégrale,pour appliquer la définition,non ?

De rien, je joue au prof !
Ta fonction est bien définie sur ]-1,1[

avec pb en -1 et 1 : ok.
Après oui, on étudie chaque pôle. Ici il y a de la parité qui te permet de n'avoir
à étudier qu'un des deux morceaux.

O.G.

de **Mello** le Vendredi 19 Mars 2010, 15:18

merci

$\int_{-1}^{1}\frac{1}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx=\int_{-1}^{0}\frac{1}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{(2-x^2)\sqrt{1-x^2}}dx$ ,maintenant je dois étudier juste l'un de ces deux morceaux,c'est ça ?

de **Tonn83** le Vendredi 19 Mars 2010, 16:50

Cher Mello, pour la première question, la fonction

ne prend que des valeurs positives. L'intégrale $\int_{-1}^1f$ peut donc être définie, valant $+\infty$ quand l'intégrale ne converge pas. Tu as deux possibilités pour aborder la question:

Première possibilité. Tu recherches un équivalent de la fonction en et (séparément). Si l'équivalent est intégrable il en va de même pour .
Seconde possibilité. Tu majores par une fonction positive que tu sais intégrable en et en . Il suffit d'effectuer la majoration au voisinage de 1 et au voisinage de -1 séparément.

La parité de

ne rentre pas en considération pour établir la convergence de $\int_{-1}^1f$ . Pour toute fonction positive $f:(-1,1)\rightarrow \R_+$ , tu peux toujours écrire
$\int_{-1}^1f=\int_{-1}^0+\int_0^1f=\int_{-1}^{-1+\epsilon}f+\int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon}f+\int_{1-\epsilon}^1f$
L'intégrale $\int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon}f$ est toujours finie quand

est continue. Le problème se pose uniquement e

et en

. Tu dois seulement étudier le comportement de

au voisinage de 1 et de -1.
La seconde méthode est beaucoup plus facile.

de **Mello** le Vendredi 19 Mars 2010, 17:04

Tonn83 a écrit:Cher Mello, pour la première question, la fonction ne prend que des valeurs positives. L'intégrale $\int_{-1}^1f$ peut donc être définie, valant $+\infty$ quand l'intégrale ne converge pas. Tu as deux possibilités pour aborder la question:
Première possibilité. Tu recherches un équivalent de la fonction en et (séparément). Si l'équivalent est intégrable il en va de même pour .
Seconde possibilité. Tu majores par une fonction positive que tu sais intégrable en et en . Il suffit d'effectuer la majoration au voisinage de 1 et au voisinage de -1 séparément.
La parité de ne rentre pas en considération pour établir la convergence de $\int_{-1}^1f$ . Pour toute fonction positive $f:(-1,1)\rightarrow \R_+$ , tu peux toujours écrire
$\int_{-1}^1f=\int_{-1}^0+\int_0^1f=\int_{-1}^{-1+\epsilon}f+\int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon}f+\int_{1-\epsilon}^1f$
L'intégrale $\int_{-1+\epsilon}^{1-\epsilon}f$ est toujours finie quand est continue. Le problème se pose uniquement e et en . Tu dois seulement étudier le comportement de au voisinage de 1 et de -1.
La seconde méthode est beaucoup plus facile.

merci beaucoup mais je sais pas comment majorer f ,une idée ?

de **Tonn83** le Vendredi 19 Mars 2010, 17:41

Mello a écrit:merci beaucoup mais je sais pas comment majorer f ,une idée ?

Ce n'est pas à nous d'avoir une idée, mais c'est à toi de trouver comment majorer f(t)

, ou comment en trouver un équivant en t=1

et en

. Je te rappelle que tu as posé
$f(t)=\frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}$
Que reconnais-tu dans cette expression ?

de **Mello** le Vendredi 19 Mars 2010, 23:11

merci "Tonn83" mais je ne reconnais rien

,(sans l'identité remarquable).

de **Tonn83** le Samedi 20 Mars 2010, 11:21

Qu'appelles-tu "identité remarquable" ? Que peux-tu dire de $t\mapsto (2-t^2)^{-1}$ ? Que vaut-elle en

? en

? Peux-tu en déduire une première majoration de

? Te permet-elle de conclure ? :roll:

de **Mello** le Samedi 20 Mars 2010, 15:34

Tonn83 a écrit:Qu'appelles-tu "identité remarquable" ? Que peux-tu dire de $t\mapsto (2-t^2)^{-1}$ ? Que vaut-elle en ? en ? en ? Peux-tu en déduire une première majoration de ? Te permet-elle de conclure ?

ok,
$\left | \int_{-1}^{1}\frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}dt \right |\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}\right |dt\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \right |dt$
est-ce juste ?
merci "Tonn83".

de **kojak** le Samedi 20 Mars 2010, 15:56

Bonjour

Mello a écrit:,
$\left | \int_{-1}^{1}\frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}dt \right |\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}\right |dt\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \right |dt$

Tu ne peux pas écrire ceci, tu ne sais même pas si ça existe, il y a donc un gros problème :shock:

Pourrais tu donner un équivalent en x=1

de $(2-t^2)\sqrt{1-t^2}$ et donc ensuite un équivalent en

de ta fonction à intégrer et ensuite, tu peux conclure sur la convergence ou non de ton intégrale..

PS : tu es en quelle année de licence :?:

1, 2 ou 3

de **Mello** le Samedi 20 Mars 2010, 16:08

kojak a écrit:Bonjour

Mello a écrit:,
$\left | \int_{-1}^{1}\frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}dt \right |\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}\right |dt\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \right |dt$

Tu ne peux pas écrire ceci, tu ne sais même pas si ça existe, il y a donc un gros problème

Pourrais tu donner un équivalent en de $(2-t^2)\sqrt{1-t^2}$ et donc ensuite un équivalent en de ta fonction à intégrer et ensuite, tu peux conclure sur la convergence ou non de ton intégrale..

PS : tu es en quelle année de licence 1, 2 ou 3

je suis en première année (?)
pourquoi je peux pas écrire cela,est-ce que tu peux me dire ?

de **kojak** le Samedi 20 Mars 2010, 17:07

Mello a écrit:pourquoi je peux pas écrire cela,est-ce que tu peux me dire ?

car tu ne sais pas si toutes ces intégrales existent, tout simplement : c'est le but de la question :wink:

Mello a écrit:,
$\left | \int_{-1}^{1}\frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}dt \right |\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}\right |dt\leq \int_{-1}^{1}\left | \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \right |dt$

Donc je réitère ma question :

kojak a écrit:Pourrais tu donner un équivalent en de $(2-t^2)\sqrt{1-t^2}$ et donc ensuite un équivalent en de ta fonction à intégrer et ensuite, tu peux conclure sur la convergence ou non de ton intégrale..

sais tu ce qu'est un équivalent :?:

OK pour ta L1.

de **Mello** le Samedi 20 Mars 2010, 17:33

merci "Kojak"

je pense qu'il faut faire un développement limité,n'est-ce pas ?

de **kojak** le Samedi 20 Mars 2010, 18:04

Mello a écrit:je pense qu'il faut faire un développement limité,n'est-ce pas ?

Un équivalent directement :wink:

de **Mello** le Samedi 20 Mars 2010, 18:17

kojak a écrit:
Mello a écrit:je pense qu'il faut faire un développement limité,n'est-ce pas ?

Un équivalent directement

hmm je sais pas comment trouver un équivalent directement :roll:

une question: comment trouver un équivalent à ma fonction en 1 pourra répondre à la question ?
merci.

de **kojak** le Samedi 20 Mars 2010, 19:04

et en écrivant ceci : $(2-t^2)\sqrt{1-t^2}=(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}$ tu le vois ton équivalent ?

Il suffit de remplacer

par

sauf quand un facteur vaut

et donc ton équivalent est ...

de **Mello** le Samedi 20 Mars 2010, 19:24

kojak a écrit:et en écrivant ceci : $(2-t^2)\sqrt{1-t^2}=(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}$ tu le vois ton équivalent ?

Il suffit de remplacer par sauf quand un facteur vaut et donc ton équivalent est ...

désolé,je ne vois toujours pas

.

de **kojak** le Samedi 20 Mars 2010, 19:27

tu comprends ceci :

kojak a écrit:Il suffit de remplacer par sauf quand un facteur vaut et donc ton équivalent est ...

et donc $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\sim 2\sqrt{2(1-t)}$ en t=1

tout simplement

donc après le pb est de savoir si la fonction $\dfrac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ est intégrable en

: en clair, à qque chose près, est ce que tu connais une primitive de cette fonction qui existe pour t=1

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