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de **Mello** le Samedi 20 Mars 2010, 22:25

kojak a écrit:tu comprends ceci :

kojak a écrit:Il suffit de remplacer par sauf quand un facteur vaut et donc ton équivalent est ...

et donc $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\sim 2\sqrt{2(1-t)}$ en tout simplement

donc après le pb est de savoir si la fonction $\dfrac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ est intégrable en : en clair, à qque chose près, est ce que tu connais une primitive de cette fonction qui existe pour

merci "kojak"

je suis confus

la fonction $\dfrac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ n'est pas définie en 1...comment peut-elle être intégrable en cet point ?
désolé je pose des questions stupides

.

de **Tonn83** le Dimanche 21 Mars 2010, 00:05

@ Kojak : je ne comprends pas. La majoration effectuée par Mello est tout à fait légitime, sans les valeurs absolues. Il s'agit d'intégrales de fonctions positives, qui valent éventuellement l'infini si la fonction sous le signe $\int$ n'est pas intégrable. Où est le problème ?

@ Mello : Très bien, tu as obtenu la majoration suivante:
$\frac{1}{(2-t^2)\sqrt{1-t^2}}\leq \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$
Reconnais-tu la fonction de droite ? Si non, recherche du côté des fonctions trigonométriques :wink:

Cette majoration te donne la solution à la question que tu cherches. Sinon, la recherche d'un équivalent proposée par Kojak est un très bon exercice, et te donne une autre solution. A toi de choisir la méthode qui te plait le mieux, mais les deux sont à connaitre

de **kojak** le Dimanche 21 Mars 2010, 12:42

bonjour,

Tonn83 a écrit:Où est le problème ?

ben le problème c'est ça :

Tonn83 a écrit:qui valent éventuellement l'infini si la fonction sous le signe $\int$ n'est pas intégrable.

je veux bien qu'au niveau bac +4 ou docteur, on écrive ça, mais au niveau L1, j'ai de très gros doutes. En tout cas, en cpge, je ne tolère pas ça : c'est une erreur grave de manipuler des choses dont on ne sait même pas si ça existe :shock:

Mello a écrit:je suis confus la fonction $\dfrac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ n'est pas définie en 1...comment peut-elle être intégrable en cet point ?

tu peux me rappeler le domaine de définition de la fonction Racine carrée et son domaine de dérivabilité, s'il te plait :?:

de **Mello** le Dimanche 21 Mars 2010, 15:10

@"Kojak".
Domaine de définition : $\mathbb{R}^{+}$ =Domaine de dérivabilité.
:roll:

de **Tonn83** le Dimanche 21 Mars 2010, 16:13

Non, Mello, la racine carrée n'est pas dérivable en

. Le taux d'accroissement entre 0 et x vaut $1/\sqrt{x}$ qui diverge quand $x\rightarrow 0$ . Néanmoins, la racine carrée et dérivable sur $\R_+^*$ et sa dérivée vaut $1/2\sqrt{x}$ . Il vient alors
$\int_0^x\frac{dy}{\sqrt{y}}=2\sqrt{x}$
Comprends-tu pourquoi ?

de **kojak** le Dimanche 21 Mars 2010, 16:55

Mello a écrit:Domaine de définition : $\mathbb{R}^{+}$ =Domaine de dérivabilité.

Aïe Aîe...

Comme précisé par Tonn83, c'est pas bon. Tu as quoi comme bac, S ou ES, ou autre ?

Autre exemple classique la fonction valeur absolue : elle est définie sur $\R$ mais dérivable où ça :?:

de **Mello** le Dimanche 21 Mars 2010, 16:59

ok,merci

j'ai du connaitre cela

.
$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x}}=\infty$ donc la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0.
mon problème c'est $\int_{0}^{x}\frac{dy}{\sqrt{y}}=2\sqrt{x}$

.
merci de m'éclairer

de **kojak** le Dimanche 21 Mars 2010, 17:30

quelle est la dérivée de la fonction Racine carrée :?:

donc quelle est une primitive de la fonction $\dfrac{1}{\sqrt{y}}$ :?:

et enfin comment tu calcules une intégrale connaissant une primitive :?:

de **Mello** le Dimanche 21 Mars 2010, 20:08

kojak a écrit:quelle est la dérivée de la fonction Racine carrée

donc quelle est une primitive de la fonction $\dfrac{1}{\sqrt{y}}$

et enfin comment tu calcules une intégrale connaissant une primitive

ah oui

$2\int_{0}^{x}\frac{1}{2\sqrt{y}}dy=2\left [ \sqrt{y} \right ]_{0}^{x}=2(\sqrt{x}-0)=2\sqrt{x}.$
(la fonction valeur absolue est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ )

de **kojak** le Dimanche 21 Mars 2010, 20:48

Mello a écrit:(la fonction valeur absolue est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ )

Pas tout à fait.

Une fonction est dérivable sur un intervalle, or $\R^*$ n'est pas un intervalle :!:

Et donc la fonction valeur absolue est dérivable sur tout intervalle ouvert inclus dans $\R^*$

de **Mello** le Dimanche 21 Mars 2010, 21:38

merci "kojak"

et "Tonn83"

je continue,je dois intégrer la fonction $t\mapsto \frac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ c'est ça ?

de fp le Dimanche 21 Mars 2010, 21:49

kojak a écrit:tu comprends ceci :

kojak a écrit:Il suffit de remplacer par sauf quand un facteur vaut et donc ton équivalent est ...

et donc $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\sim 2\sqrt{2(1-t)}$ en tout simplement

Heu, il me semble que $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\underset{1}{\sim} \sqrt{2(1-t)}$ .

donc après le pb est de savoir si la fonction $\dfrac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ est intégrable en : en clair, à qque chose près, est ce que tu connais une primitive de cette fonction qui existe pour

cela donnerait plutôt $\dfrac{1}{\sqrt{2(1-t)}}$ (ce qui ne change rien fondamentalement, on est bien d'accord...).

FP.

de **Mello** le Dimanche 21 Mars 2010, 22:05

fp a écrit:
kojak a écrit:tu comprends ceci :

kojak a écrit:Il suffit de remplacer par sauf quand un facteur vaut et donc ton équivalent est ...

et donc $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\sim 2\sqrt{2(1-t)}$ en tout simplement

Heu, il me semble que $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\underset{1}{\sim} \sqrt{2(1-t)}$ .

donc après le pb est de savoir si la fonction $\dfrac{1}{2\sqrt{2(1-t)}}$ est intégrable en : en clair, à qque chose près, est ce que tu connais une primitive de cette fonction qui existe pour

cela donnerait plutôt $\dfrac{1}{\sqrt{2(1-t)}}$ (ce qui ne change rien fondamentalement, on est bien d'accord...).

FP.

merci mais je ne vois pas comment ça m'aidera à finir mon problème

.

de **Tonn83** le Dimanche 21 Mars 2010, 23:23

kojak a écrit:
Mello a écrit:(la fonction valeur absolue est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$ )
Pas tout à fait.

Une fonction est dérivable sur un intervalle, or $\R^*$ n'est pas un intervalle

Et donc la fonction valeur absolue est dérivable sur tout intervalle ouvert inclus dans $\R^*$

Non. Tout d'abord, on définit la dérivabilité en un point. On peut ensuite affirmer qu'une fonction est dérivable en tout point d'une partie

de $\R$ , que cette partie soit un segment (ouvert ou fermé peu importe) ou pas, que

soit égale à $\R^*$ ou pas, etc. Pour la fonction $x\mapsto |x|$ , elle est dérivable en tout point de $\R^*$ . Or, $\R^*$ est un ouvert, c'est-à-dire une union d'intervalles ouverts. La fonction dérivée est bien définie et continue sur $\R^*$ . La continuité prend son sens sur un domaine ouvert. La fonction $x\mapsto |x|$ est continument dérivable sur l'ouvert $\R^*$ . Il est important de noter qu'un intervalle n'est pas nécessairement ouvert.

Ensuite, on peut évoquer les dérivées à droite et les dérivées à gauche. Et parler de fonction de classe C^1

sur des intervalles de $\R$ , qui peuvent par exemple être des segments. Kojak, que voulais-tu dire quand tu affirmais qu'une fonction est dérivable sur un segment ? Qu'elle est continument dérivable ? Ou qu'elle est dérivable en chacun de ses points ? Parce que là je ne comprends pas ! Et puis il existe des fonctions qui sont dérivables en tout point d'une partie qui n'est pas un intervalle ! :roll:

Bien sûr, pour l'heure, ces contre-exemples ne sont pas à la portée de Mello. Mais je ne souhaite pas que suite à ces discussions, il ait une idée fausse de la notion de dérivabilité. Les points où une fonction d'une variable réelle est dérivable ne forment pas forcément des intervalles de longueur positive. Durant certains cours, beaucoup d'étudiants rencontrent des difficultés de compréhension car ils ne peuvent remettre en question les mauvais réflexes qu'ils ont conservés des enseignements antérieurs. Ce n'est évidemment pas le sujet de ce fil, parlons-en ailleurs.

de **Tonn83** le Dimanche 21 Mars 2010, 23:25

Mello a écrit:merci mais je ne vois pas comment ça m'aidera à finir mon problème .

Que peux-tu dire de la fonction $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t}}$ ? Quel est son domaine de définition ? Peux-tu en donner une primitive ? Vois-tu ensuite comment conclure ?
Tu y es presque, courage :wink:

de **kojak** le Lundi 22 Mars 2010, 21:03

Bonjour,

fp a écrit:Heu, il me semble que $(2-t^2)\sqrt{(1-t)(1+t)}\underset{1}{\sim} \sqrt{2(1-t)}$ .

En effet, je ne connaissais plus ma table de soustraction :mrgreen:

de **Mello** le Lundi 22 Mars 2010, 21:52

Tonn83 a écrit:
Mello a écrit:merci mais je ne vois pas comment ça m'aidera à finir mon problème .

Que peux-tu dire de la fonction ? Quel est son domaine de définition ? Peux-tu en donner une primitive ? Vois-tu ensuite comment conclure ?
Tu y es presque, courage

$t\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t}}$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}$
si je prends $f:t\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t}}$ ,on a $\int f(t)dt=-2\sqrt{1-t}$ .
comment peux-je conclure ?
merci

de fp le Lundi 22 Mars 2010, 22:11

Mello a écrit:
Tonn83 a écrit:
Mello a écrit:merci mais je ne vois pas comment ça m'aidera à finir mon problème .

Que peux-tu dire de la fonction ? Quel est son domaine de définition ? Peux-tu en donner une primitive ? Vois-tu ensuite comment conclure ?
Tu y es presque, courage

$t\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t}}$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}$

Non ! Certainement pas !

si je prends $f:t\mapsto \frac{1}{\sqrt{1-t}}$ ,on a $\int f(t)dt=-2\sqrt{1-t}$ .
comment peux-je conclure ?
merci

Que peut-on dire alors de la convergence de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1-t}}$ ?

FP.

de **Mello** le Lundi 22 Mars 2010, 23:37

pour le domaine je pense que c'est [0,1[,si ce n'est pas le cas,éclairez moi

pour l'intégrale, il converge.
$\lim_{x\to 1}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\lim_{x\to 1}\left [ -2\sqrt{1-t} \right ]_{0}^{x}=\lim_{x\to 1}4\sqrt{1-x}=0$

de **PRND** le Mardi 23 Mars 2010, 00:46

Mello a écrit: $\lim_{x\to 1}\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\lim_{x\to 1}\left [ -2\sqrt{1-t} \right ]_{0}^{x}=\lim_{x\to 1}4\sqrt{1-x}=0$

C'est faux (une fonction strictement positive a difficilement une intégrale nulle !)

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