[PTSI] Changement d'indice

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[PTSI] Changement d'indice

Messagepar EsToRzZz » Vendredi 30 Octobre 2015, 16:01

Bonjour,
Je fais appel a vous aujourd'hui pour vous demander de l'aide sur un exercice avec du changement d'indice et autre.

Exercice :
Soit n un entier supérieur ou égal a 2. on a :
$\ds Q_n = \prod_{k=1}^{n-1} sin(\frac{k \pi}{2n}) $ et $\ds R_n = \prod_{k=1}^{2n-1} sin(\frac{k \pi}{2n}) $
On pose : $P(z) = \ds \sum_{k=0}^{n-1}z^k = 1+z+z^2+...+z^{n-1}$

Questions :
1) a l'aide du changement d'indice p = 2n-k, montrer que $Q_n =\ds  \prod_{p=n+1}^{2n-1}sin(\frac{p \pi}{2n})$
et en déduire que $R_n = Q_n^2$
2)Resoudre dans $\C$ l'equation $(z+1)^{2n}-1 = 0$ et on note $z_0$ la solution nulle et $z_1,....,z_{2n-1}.$ Les mettre sous forme trigonométrique.
3)On note $\ds P_n = \prod_{k=1}^{2n-1}z_k.$ Montrer que $R_n = -\frac{P_n}{2^{2n-1}}$.
4)On admet que $P_n = -2n.$ Démontrer que : $Q_n = \frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}$

J'avoue de pas avoir regardé la suite étant donné que j'arrive meme pas le debut de l'exercice !!
Merci de votre aide,

Maxence
Dernière édition par EsToRzZz le Vendredi 30 Octobre 2015, 16:53, édité 4 fois.
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Re: [PTSI]Changement d'indice

Messagepar kojak » Vendredi 30 Octobre 2015, 16:28

Bonjour,

Ben pour la 1), il n'y a qu'à suivre l'indication donnée par ton énoncé. Tu fais comment alors ?

Tu peux faire la question 2 sans avoir fait la première :wink:

PS : d'ailleurs c'est un $\sum$ ou un $\Pi$

PS 2 : dans $R_n$ il n'y aurait pas un bug dans ton écriture car là il faut $0$ avec $k=n$
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Re: [PTSI]Changement d'indice

Messagepar EsToRzZz » Vendredi 30 Octobre 2015, 16:49

Pour PS : Effectivement une erreur !!
Pour PS2 : Pour le $R_n$, je modifie, la prof avait fait une erreur !! C'est 2n au dénominateur et pas seulement pour Rn d'ailleurs !

Pour la question 1, je pense ne pas avoir compris le principe de changement d'indice :/
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Re: [PTSI]Changement d'indice

Messagepar kojak » Vendredi 30 Octobre 2015, 17:20

EsToRzZz a écrit:Pour la question 1, je pense ne pas avoir compris le principe de changement d'indice :/

Ben comme son nom l'indique, tu changes ton indice $p=2n-k$ alors ton $k$ dans ton produit varie de combien à combien ? donc $p$ varie entre .. ? ensuite dans l'expression tu remplaces $k$ par son expression en fonction de $p$ et un petit coup de formule de trigo et le tour est joué :wink:
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Re: [PTSI]Changement d'indice

Messagepar EsToRzZz » Vendredi 30 Octobre 2015, 18:59

Ok donc la, k varie de 1 a n-1
donc p varie entre n+1 a 2n-1. c'est bien ça ?
Je retrouve donc ce que je veux presque !!
Mais je comprend pas ce que tu veux dire après. En gros je dis que k = 2n-p ?
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Re: [PTSI]Changement d'indice

Messagepar kojak » Vendredi 30 Octobre 2015, 20:31

EsToRzZz a écrit:Ok donc la, k varie de 1 a n-1
donc p varie entre n+1 a 2n-1. c'est bien ça ?
Oui

EsToRzZz a écrit:En gros je dis que k = 2n-p ?
oui et tu remplaces donc $k$ par cette expression dans celle de $Q_n$ donné initialement : c’est ça un changement d'indice. Ensuite, il n'y a plus qu'à simplifier ton $\sin\left(\dfrac{(2n-p)\pi}{2n}\right)$ de façon à obtenir ce qui t'est demandé.
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