Application injective, surjective

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Application injective, surjective

Messagepar marie9 » Dimanche 14 Septembre 2008, 14:21

Exercice:
Soit E, F, G trois ensembles et deux applications f: E-->F , g: E-->G. On définit l'application:
h : { E-->F*G
{ x-->h(x)=(f(x),g(x))

1) Montrer que si f ou g est injective, alors h est injective.

2) Dans cette question seulement, on suppose que h est l'application
[-pi,pi[--> R^2
x-->(sinx,x^2)
h est-elle injective ? Même question pour f et g.

3) Montrer que si h est surjective, alors f et g sont surjectives.

4) Démontrer à l'aide d'un contre-exemple que la réciproque est fausse (c'est à dire: donner une application h non surjective telle que f et g soient surjectives; justifier la réponse).


Voilà ce que j'ai fait pour la question 1:
Soient x et x' deux éléments de E tels que h(x)=(f(x),g(x))=h(x')=(f(x'),g(x')). Alors f(x)=f(x') et g(x)=g(x'). Comme au moins l'une des deux est injective, ceci implique que x=x'. Il en résulte que h est injective.

Pour la suite, je n'y arrive pas... Alors si quelqu'un a la gentillesse de m'aider, ce n'est pas de refus.
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Septembre 2008, 14:29

OK pour la 1

2) utilise les propriétés de parité/imparité de 2 fonctions.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar marie9 » Dimanche 14 Septembre 2008, 14:54

Comment ça ?
Je ne me souviens plus trop de ces propriétés, ce serait pas sinx=sinx' , x^2=x'^2... Alors x=x' ?
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Septembre 2008, 15:14

$x^2=y^2\;\Leftrightarrow\;|x|=|y|\;\Leftrightarrow\;\dots$
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar marie9 » Dimanche 14 Septembre 2008, 15:17

x=y ?
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Septembre 2008, 15:29

Pas seulement.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar marie9 » Dimanche 14 Septembre 2008, 15:53

-x=-y
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Re: problème injective, surjective...

Messagepar guiguiche » Dimanche 14 Septembre 2008, 16:11

C'est la même égalité que la précédente !
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
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Re: Application injective, surjective

Messagepar huhulecheval » Lundi 15 Septembre 2008, 22:56

Marie,

Essaie de mettre des mots sur les symboles :

deux nombres sont égaux en valeur absolue si, et seulement si, ils sont égaux ou opposés l'un de l'autre.

Cordialement,
Huhu (le cheval)
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