[L3] Algèbre : p-groupe

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar div » Mercredi 25 Mars 2009, 16:42

Bonjour,

Je vous énonce un petit exercice sur lequel j'ai du mal à trouver une solution :

$p$ étant un nombre premier, montrer qu'un groupe $G$ de cardinal $p^2$ est commutatif.

Dans un premier temps, j'ai pensé raisonner par l'absurde en supposant que le centre de $G$ était inclu strictement dans $G$.
Sauf qu'au final je n'arrive pas à obtenir de contradiction... Donc peut-être que ma méthode est mauvaise, je ne sais pas si vous en voyez une autre à me proposer, ou bien si vous pouviez me guider pour que j'aboutisse.

merci!
div
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Re: [L3] algèbre : p-groupe

Messagepar MC » Mercredi 25 Mars 2009, 17:27

Bonjour,

Un outil que tu peux utiliser est l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison.

Commence par montrer que le centre n'est pas réduit à l'élément neutre en considérant les orbites de l'action ci-dessus.
Montre ensuite que c'est tout $G$ par l'absurde, en supposant que $g$ n'est pas dans le centre et en considérant son stabilisateur.

Cordialement.
MC
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar Valvino » Mercredi 25 Mars 2009, 23:47

1) Montre que le centre Z(G) n'est pas réduit à l'élément neutre. Son cardinal est donc soit ... soit ... Un des cas te permet de conclure directement.
2) Ensuite étudie le quotient G/Z(G). Quel est son cardinal?

Voilà quelques pistes qui devrait te permettre de conclure!
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar div » Jeudi 26 Mars 2009, 13:34

merci pour les conseils, j'ai pu avancer un peu.
Par contre, il me reste un problème pour conclure...
J'en suis au cas où $card Z(G) = p$ alors $card G/Z(G) = p$ Mais à partir de là je tourne un peu en rond, je ne vois pas d'aburdité.
div
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar div » Jeudi 26 Mars 2009, 13:50

ah si, je crois que j'ai compris :
comme les classe d'équivalences sont distinctes ou égales, alors on montre que l'on ne peut pas avoir $p$ classes d'équivalence, mais une seule. C'est cela l'idée ?
On le fait en disant que les éléments du centre appartiennent à la meme classe d'équivalence, et que ceux qui ne sont pas dans $Z(G)$ sont nécessairement dans une autre classe. Et on montre que c'est impossible. Ca se tient ?
Dernière édition par div le Jeudi 26 Mars 2009, 13:59, édité 1 fois.
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar Valvino » Jeudi 26 Mars 2009, 13:51

Si le cardinal d'un groupe est premier, que se passe-t-il?
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar div » Jeudi 26 Mars 2009, 14:16

oups, excuse-moi j'ai édité mon message , je n'avais pas vu qu'il y avait eu un retour entre temps.
Si le cardinal d'un groupe est premier, c'est lui-même un p-groupe. Dans ce cas par considération des cardinaux, on en déduit que le cadinal de ce groupe est égal à celui de son centre, ce qui est en fait évident à la base....
div
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar MC » Jeudi 26 Mars 2009, 18:12

Si j'ai bien suivi, on est arrivé à $G/Z(G)$ commutatif. Et alors?
Ou bien peut-être j'ai mal compris.

Cordialement.
MC
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar Valvino » Jeudi 26 Mars 2009, 18:53

Et bien si $G/Z(G)$ est de cardinal $p$, il est cyclique. En prenant un élément $a$ de $G$ dont la classe dans $G/Z(G)$ engendre $G/Z(G)$, on voit que tout élément de $G$ est de la forme $a^nz$ avec $z\in Z(G)$. On en tire que $G$ est commutatif.
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar MC » Jeudi 26 Mars 2009, 23:28

D'accord, ton argument portait sur la cyclicité du quotient, pas sur sa commutativité. Petit exercice : exhiber un groupe non commutatif dont le quotient par le centre est commutatif.

L'argument que je suggérais au début consistait (en supposant que le centre de $G$ n'est pas tout $G$) à prendre $g \in G\setminus Z(G)$ et à se demander quel est son stabilisateur pour l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison. Ce stabilisateur contient $Z(G)$, il contient $g$, donc...

Cordialement.
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar Tonn83 » Vendredi 27 Mars 2009, 11:37

MC a écrit: Petit exercice : exhiber un groupe non commutatif dont le quotient par le centre est commutatif.


En restant dans les p-groupes, le groupe des quaternions Q ne conviendrait-il pas ?
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Re: [L3] Algèbre : p-groupe

Messagepar MC » Vendredi 27 Mars 2009, 16:03

Si, et c'est le plus petit.
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