[L1] >> Algèbre linéaire

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[L1] >> Algèbre linéaire

Messagepar Sadgunner » Mardi 20 Juin 2006, 19:02

Bonjour,

Un post récent du forum concerne le même problème que le mien, mais vu sous un autre angle, je n'arrive pas a utiliser la méthode pour résoudre mon problème.

Donc j'ai un sous espace $E =  \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \R^4 \ / x_2=0   \}$
Il me faut trouver la dimension de E, donc au préalable une base.. Quelle est la méthode pour les déterminer ?

Merci de vos réponses.

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Messagepar Sadgunner » Mardi 20 Juin 2006, 19:04

les symboles ne se sont pas affichés, j'espère que vous comprenez tout de même ...

$E = \{ ( x_1,x_2,x_3,x_4 ) | x_2 = 0\}    $

( plus simple et plus lisible ^^ )

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Messagepar rebouxo » Mardi 20 Juin 2006, 20:47

Utilises les balises $\LaTeX$.
Il suffit de rajouter des dollars autour de tes formules.
Tu as 4 variables dont l'une à une valeur fixée. La dimension est donc 3.

Olivier.
A line is a point that went for a walk. Paul Klee
Par solidarité, pas de MP
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Messagepar jobherzt » Mardi 20 Juin 2006, 21:46

tu peux raisonner par analogie avec la dimension 3.. quel est l'ensemble (x,y,z,z=0) ? c'est bien sur le plan des (x,y)...

vu que $x_2=0$, tous les vecteurs de E s'ecrivent :

$$x_1e_1+x_3e_3+x_4e_4$$



donc $(e_1,e_3,e_4)$ en est une base..
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Messagepar la main gauche » Lundi 26 Juin 2006, 07:34

Trouver une base est la méthode la plus difficile pour trouver la dimension d'un espace vectoriel. La méthode la plus simple est basée sur le théorème du rang: Si $f: E \to F$ est une application linéaire entre e.v. de dimension finie, alors

$$\dim \ker f + \dim\hbox{\textrm{im}} f = \dim E$$


C'est utile lorsque $\dim E$ est connue et qu'on veut calculer un des deux termes du membre de gauche tandis que l'un d'entre eux est facile à déterminer. Par exemple, dans ton cas il s'agit de déterminer le noyau de la forme linéaire $f(x) = x_2$ avec $F = \textbf{R}$ et $E = \textbf{R}^4$.
L'image est un s.e.v. de la droite réeelle, qui ne peut être que de dimension 0 ou 1; comme $f(0,1,0,0)=1$ l'image de $f$ n'est pas $0$, donc son image est de dimension 1, etc. AQT.

Le cas des formes linéaires étant particulièrement simple (à cause de dim im f est 0 ou est 1), il est certainement à retenir.
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Re: [L1] >> Algèbre linéaire

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 29 Juin 2006, 12:07

Sadgunner a écrit:Bonjour,

Donc j'ai un sous espace $E =  \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \R^4 \ / x_2=0   \}$
Il me faut trouver la dimension de E, donc au préalable une base.. Quelle est la méthode pour les déterminer ?



La méthode du pivot de Gauss est ton amie.

Ici, elle se termine aussi rapidement qu'elle a commencé : le système se résume à $x_2=0$. Il y a donc trois inconnues principales, à savoir $x_1$, $x_3$ et $x_4$, et une inconnue auxilliaire $x_2$ qui est donnée par une forme linéaire des inconnues principales : $x_2=\phi(x_1,x_3,x_4)$.

Il suffit alors de se donner une base de $\R^3={\rm Vect}(x_1,x_3,x_4)$ pour "baliser" une base de E :

$(1,0,0)$ donne $(1,\phi(1,0,0),0,0)$, soit $(1,0,0,0)=\beta_1$,
$(0,1,0)$ donne $(0,0,1,0)=\beta_2$
$(0,0,1)$ donne $(0,0,0,1)=\beta_3$.

$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ est une base de $E$. Facile, non ?

Si tu veux des détails sur la méthode du pivot, qui permet de faire TOUTE l'algèbre linéaire exceptée la réduction, va voir sur mon site à la page maths, il y a un vieux document Word sur le pivot, très instructif.

http://nicolas.francois.free.fr/maths/
\bye

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Re: [L1] >> Algèbre linéaire

Messagepar P.Fradin » Jeudi 29 Juin 2006, 12:56

Arthur Accroc a écrit:
Si tu veux des détails sur la méthode du pivot, qui permet de faire TOUTE l'algèbre linéaire exceptée la réduction...


Pourquoi "excepté la réduction"? J'aurais mis au contaire "y compris la réduction". J'ai enseigné 3 ans en prepa Hec (option éco à la fin des années 80 début 90), où d'après le programme, on devait traiter la méthode de Gauss puis toute l'algèbre linéaire avec cette méthode, y compris la réduction. Tout cela devait se faire en moins de 6 mois, avec des élèves qui venaient pour la plupart de terminale B, c'est vous dire l'ampleur de la tâche! Et bien, peu d'entre eux comprenaient réellement la théorie, mais tous étaient capables de diagonaliser parcequ'ils avaient compris la recette (oui le mot recette est horrible, mais c'est un aspect des maths qui ne doit pas être négligé cependant, le mot méthode est sans doute plus aproprié)
P.Fradin
 

Re: [L1] >> Algèbre linéaire

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 29 Juin 2006, 13:27

P.Fradin a écrit:Pourquoi "excepté la réduction"? J'aurais mis au contaire "y compris la réduction".


Tu veux dire "sans polynôme caractéristique" ? C'est possible de trouver des valeurs propres avec la méthode de Gauss, en discutant sur le rang de la matrice $M-\lambda I_n$, mais c'est un peu vicelard, quand même, non ?

Enfin, c'est sans idée de dénigrer, ça ne me dérange pas qu'on le fasse comme ça, il faut juste se limiter alors à la diagonalisation des matrices 2-2 ou 3-3... C'est juste une introduction à la réduction.
\bye

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Re: [L1] >> Algèbre linéaire

Messagepar P.Fradin » Jeudi 29 Juin 2006, 13:41

Arthur Accroc a écrit:Tu veux dire "sans polynôme caractéristique" ? C'est possible de trouver des valeurs propres avec la méthode de Gauss, en discutant sur le rang de la matrice $M-\lambda I_n$, mais c'est un peu vicelard, quand même, non ?


Il n'y a rien de vicelard, la-dedans, et cela permet d'avoir du même coup les sous espaces propres (il y a même beaucoup d'étudiants de spé qui font comme ça!). Bien sûr, c'etait limité la plupart du temps aux matrices de taille 2 ou 3 (et il y avait toujours ou presque une application aux probas derrière).

Quant au polynôme caractéristique (il était hors programme), à part dans les petites dimensions et quelques cas particuliers en dimension n, cela reste un (bel) outil théorique, et pour avoir les sous-espaces propres il faut se rabattre (sauf cas particuliers encore une fois) sur la résolution d'un système.
P.Fradin
 

Re: [L1] >> Algèbre linéaire

Messagepar Arthur Accroc » Jeudi 29 Juin 2006, 14:03

P.Fradin a écrit:
Arthur Accroc a écrit:Quant au polynôme caractéristique (il était hors programme), à part dans les petites dimensions et quelques cas particuliers en dimension n, cela reste un (bel) outil théorique, et pour avoir les sous-espaces propres il faut se rabattre (sauf cas particuliers encore une fois) sur la résolution d'un système.


Oui, c'est un peu ce que je disais. Tant qu'on en reste à diagonaliser des petits exemples pratiques, la méthode du pivot peut servir (ce qui renforce encore mon amour pour elle ;-), mais en tant qu'outil théorique, le polynôme caractéristique semble incontournable dès qu'on veut avancer...

Aucun désir de ma part de dénigrer le pivot, bien au contraire, voir mes précédents messages.

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Messagepar guiguiche » Jeudi 29 Juin 2006, 17:50

La méthode du pivot de Gauss est mon amie actuelle pour la réduction en prépa HEC voie scientifique (évidemment n=3).
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Messagepar la main gauche » Lundi 03 Juillet 2006, 12:27

Il me semble que la méthode du pivot de Gauss sur "la matrice de Cayley-Hamilton" $(X - \lambda)$ consiste en fait à rechercher la forme normale de la matrice (cf. Jacobson, Basic Algebra, normal form of a matrix with entries in a p.i.d): c'est une forme algorithmique du théorème de structure des modules de type fini sur un anneau principal, dans le cas des anneaux euclidiens les coefficients de Bezout sont "calculables". La forme normale de la matrice donne sa décomposition de Frobenius (en espaces cycliques) et le passage à la forme de Jordan se fait, comme pour les groupes abéliens, grâce au théorème des restes chinois.

Est-ce bien cela que vous leur apprenez à faire en HEC ?
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Messagepar rebouxo » Lundi 03 Juillet 2006, 14:06

la main gauche a écrit: Bezout


B\'Ezout. Il a pas de chance le pauvre, il perd toujours son accent. :P
Belle tirade, sinon. Bientôt connue sous le nom de la tirade du Pivot. :D
Il faudrait la mettre en alexendrins.
C'est un peu court Monsieur,...
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Messagepar guiguiche » Lundi 03 Juillet 2006, 14:11

Ta méthode est bien complexe pour des prépa HEC. On part du principe qu'une matrice triangulaire est inversible si et seulement s'il n'y a pas de 0 sur sa diagonale et qu'on ne change pas les valeurs propres d'une matrice par opérations élémentaires successives sur les lignes de la matrice en question. On triangularise ainsi $A-\lambda I_n$ et on recherche les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la diagonale comporte au moins un zéro. Les matrices choisies permettent de n'avoir que des équations du premier ou du second degré (ou troisième avec 0 qui est solution). En remplaçant $\lambda$ par les valeurs propres successives obtenues dans la matrice triangularisée de $A-\lambda I_n$ et en recherchant les relations entre les colonnes (rappelons que $n=3$ presque toujours), on obtiens aisément des générateurs des sous espaces propres.
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Messagepar la main gauche » Lundi 03 Juillet 2006, 17:24

guiguiche a écrit:Ta méthode est bien complexe pour des prépa HEC.

Bien entendu, mais je me demande si cette méthode utilisée en HEC ne revient pas plus ou moins à calculer les invariants de similitude de $X - \lambda$. Je serais curieux de voir ce que ça donne sur un exemple 3x3.
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Messagepar jblecanard » Lundi 03 Juillet 2006, 17:40

Bonsoir à vous chers professeurs.

jobherzt a écrit:tu peux raisonner par analogie avec la dimension 3.. quel est l'ensemble (x,y,z,z=0) ? c'est bien sur le plan des (x,y)...

vu que $x_2=0$, tous les vecteurs de E s'ecrivent :

$$x_1e_1+x_3e_3+x_4e_4$$



donc $(e_1,e_3,e_4)$ en est une base..


Cette réponse la plus simple est la plus claire je trouve, et je dis celà d'un pint de vue élève et non prof :wink:

Il est vrai que trougver une base n'est pas le plus efficace en général, mais dans le cas présent, si. La base est triviale à trouver, on la voit même si aucun théorème explicite ne la fournit de manière simple. On la balance au flanc, on dit "ça marche" et c'est résolu !

De manière moins barbare on peut aussi raisonner de la manière suivante :
Un système d'équation cartésienne de l'epace en question est $ x_{2} = 0 $ . Clairement, c'est une équation d'hyperplan. Il est donc de dimension 3.
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Messagepar la main gauche » Mardi 04 Juillet 2006, 07:48

jobherzt a écrit:tu peux raisonner par analogie avec la dimension 3.. quel est l'ensemble (x,y,z,z=0) ? c'est bien sur le plan des (x,y)...

vu que $x_2=0$, tous les vecteurs de E s'ecrivent :

$$x_1e_1+x_3e_3+x_4e_4$$



donc $(e_1,e_3,e_4)$ en est une base..


jblecanard a écrit:Cette réponse la plus simple est la plus claire je trouve, et je dis celà d'un pint de vue élève et non prof :wink:


Il faudrait quand-même insister sur les deux arguments (libre+générateur): je propose la rédaction concise suivante.

vu que $x_2=0$, tous les vecteurs de E s'ecrivent :

$$x_1e_1+x_3e_3+x_4e_4$$



donc $(e_1,e_3,e_4)$ est un système générateur de l'espace $A$ dont on souhaite calculer la dimension, comme sous-système d'un système libre de $\textbf{R}^4$il est lui-même libre comme système de vecteurs de $A$, c'est donc une base de $A$.
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Messagepar jblecanard » Mardi 04 Juillet 2006, 09:54

Un système libre ? Je ne comprend pas trop...

Moi j'appelle plutôit celà une famille de vecteurs, que je qualifie ensuite de libre ou de génératrice. Pour moi un système est un ensemble d'équations. Je ne prétend pas par là mettre en doute ta démonstration, mais je trouve que c'est plus clair en parlant de famille que de système.

Sinon je suis complètement d'accord.
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Messagepar la main gauche » Mardi 04 Juillet 2006, 12:32

Au temps pour moi, il faut effectivement mieux parler de famille. Je n'ai simplement pas assez fait attention à la terminologie.
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Messagepar nirosis » Mardi 04 Juillet 2006, 17:37

la main gauche a écrit:Au temps pour moi, il faut effectivement mieux parler de famille. Je n'ai simplement pas assez fait attention à la terminologie.


Perso, ça ne me choque pas d'employer l'un ou l'autre... après pour les gens qui débutent, c'est sûr qu'il vaut mieux choisir une unique terminologie histoire de pas tout confondre !! c'est plus un problème pédagogique.
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