Algèbre linéaire

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

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Algèbre linéaire

Messagepar washboard » Mardi 26 Décembre 2006, 15:17

bonjour à tous,

toute aide pour ce problème me sera bienvenue.
voici les données d' un exercice d'algèbre:

soit E un espace vectoriel euclidien de dim n>=2 sur R;
Dans tout le problème, on suppose donnés deux sous-espaces E1 et E2 de E dont E est somme directe orthogonale, de dimensions respectives non nulles p et n-p.
0n suppose données des bases orthonormales B1=(e1,e2,...ep),B2=(e(p+1),e(p+2),...,en) de E1 et E2 dont la réunion B fournit une base orthonormale de E.
On désigne par I1,I2,I les applications identiques de E1,E2 et E et par les mêmes symboles les matrices-unités associées.

On suppose données une application linéaire f de E1 dans E2 et une application linéaire g de E2 dans E1 telles que pour tout couple (x1,x2) d'éléments de E1 et E2
<f(x1),x2>=<x1,g(x2)>
L'objectif du problème est détudier l'endomorphisme K de E qui à tout élément x de E écrit sous la forme x=x1 + x2 où x1 appartient à E1 et x2 appartient à E2 associe
K(x)=k* x1 + f(x1) + g(x2)
où k est un nombre donné

J'ai montré que l'endomorphisme K est symétrique.
question :
Comment en déduire Im K à l'aide de Im f et de Im g ?

merci par avance
washboard
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