[L3] Algèbre linéaire

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[L3] Algèbre linéaire

Messagepar anne310 » Lundi 02 Octobre 2006, 18:15

bonjour,

je suis en 3e année de licence et il me manque les bases de deug pour faire mon exo. en effet venant d'un bts je suis "paumée"en math. qqun pourait-il m'aider ?

voila mon exercice:

Soit $\mc{M}(n)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$.

Quelle est sa dimension ?

Soit $S(n)= \{ M \in \mc{M}(n) \text{ tq } M = {\, \vphantom{M}}^{\mathit t}{\! M} \}$ et $A(n)=\{ M \in \mc{M}(n) \text{ tq } M= - {\, \vphantom{M}}^{\mathit t}{\! M} \}$.

a) Montrer que $S(n)$ est un sous espace vectoriel de $\mc{M}(n)$. Donner une base et sa dimension.
b) Montrer que $A(n)$ est un sous espace vectoriel de $\mc{M}(n)$. Donner une base et sa dimension.
c) Montrer que $\mc{M}(n) = S(n)+A(n)$.

Merci d'avance pour l'aide.

[Edit: MB] LaTeX.
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Messagepar Arnaud » Lundi 02 Octobre 2006, 18:24

Sais-tu ce que représente un espace vectoriel ainsi que sa dimension ?

Si oui, combien faut-il d'éléments de base pour "écrire" une matrice $n \times n$ ?
Cela t'aidera pour la première question.
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Messagepar anne310 » Lundi 02 Octobre 2006, 19:14

non je ne sais pas ce que représente un espace vectoriel et sa dimension.je n'ai pas compris grand chose a ce qu'il y a marqué dans les livres...ni dans le cour d'ailleur...Pour la première question j'ai lu dans un bouquin que c'est une dimension n carré mais je ne saurais pas l'expliquer...
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Messagepar guiguiche » Lundi 02 Octobre 2006, 19:29

Il va falloir reprendre toutes les notions comme pour Shape, voir le topic :
http://www.mathematex.net/phpBB2/algebre-lineaire-vt1208.html
Bon courage et pose plein de questions s'il le faut.
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Messagepar Arnaud » Lundi 02 Octobre 2006, 20:07

En gros, les espaces vectoriels sont des généralisations du principe des coordonnées, et pour que ce soit bien défini, il faut qu'on puisse additionnner les coordonnées, les multiplier par un nombre, ... sans que ça pose problème.

La dimension d'un espace vectoriel c'est donc le nombre de coordonnées dont on a besoin pour représenter cet espace.

Par exemple pour $\R^2$ on a besoin de 2 coordonnées, pour $\R^n$ de $n$ coordonnées.
Pour écrire une matrice $2 \times 2$, il te faut 4 nombres :

$$\left( \begin{array}{cc}
 a & b \\
 c & d \end{array} \right) = 
 a \left( \begin{array}{cc}
 1 & 0 \\
 0 & 0
 \end{array} \right)
 +b \left( \begin{array}{cc}
 0 & 1 \\
 0 & 0
 \end{array} \right)
 +c \left( \begin{array}{cc}
 0 & 0 \\
 1 & 0
 \end{array} \right)
 +d \left( \begin{array}{cc}
 0 & 0 \\
 0 & 1
 \end{array} \right)$$



Le principe est le même pour une matrice carrée $n \times n$, et pour une matrice rectangulaire $n \times p$.
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reponse arnaud

Messagepar anne310 » Mardi 03 Octobre 2006, 11:34

merci pour l'explication sur la matrice.Je ne sais pas ce qu'est un sous espace vectoriel et comment le montrer.idem pour la base et la dimension.Pourrais tu me donner un exemple??

merci
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 12:12

Un sous-espace vectoriel est en fait un espace vectoriel contenu dans un espace vectoriel.

C'est toujours plus simple de prouver qu'un espace $E$ est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel, car il suffit de prouver que c'est stable par addition et par la multiplication par un scalaire :

- si $u$ et $v$ sont dans $E$, alors $u+v$ doit appartenir à $E$
- si $\lambda \in \R$, alors $\lambda u \in \R$

C'est en général rapide de vérifier ce que j'ai écrit ci-dessus.

Concernant les bases, on peut voir ça comme les repères qui permettent de donner les coordonnées de chaque élément.

Dans l'exemple des matrices $2 \times 2$, il y a 4 éléments qui forment la base de $M(2)$, ils sont écrits au-dessus : toute matrice $2 \times 2$ s'écrit comme combinaison linéaire ( addition et multiplication par un nombre ) de ces éléments là.

Donc la dimension de cet espace là est 4.
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Messagepar guiguiche » Mardi 03 Octobre 2006, 14:50

Arnaud a écrit:- si $\lambda \in \R$, alors $\lambda u \in \R$

Il faut bien sûr lire :
si $\lambda\in\R$ (et si $u\in E$) alors $\lambda u \in E$.
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 15:06

Heu oui, je gardais les mêmes notations que dessus.
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reponse de moi

Messagepar anne310 » Mardi 03 Octobre 2006, 16:18

j'ai compris le truc de la base et de la dimension
par contre pour le sous espace vectoriel je ne sais pas comment raisonner.
dans mon exo il donne soit $S(n)=\{M \in M(n) | M=\ ^tM\}$
et on demande de montrer que $S(n)$ et un sous espace vectoriel de $M(n)$.Je ne sais pas comment le montrer.
voila a quoi j'ai pensé, dite moi si c'est comme cela ou non

$M$ est dans $M(n)$ et comme $M=\ ^tM$ alors $S(n)$ est un sous espace vectoriel de $M(n)$

[Edit Arnaud : LaTeX]
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 16:29

Pour montrer que $S(n)$ est un sev ( sous-espace vectoriel ) de $M(n)$, il faut prouver que la somme de matrices symétriques est aussi symétrique ( stabilité par addition ), et que la multiplication d'une matrice symétrique par un nombre est aussi symétrique ( stabilité par multiplication par un scalaire ).

En gros ce qu'on a expliqué plus haut.
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Messagepar anne310 » Mardi 03 Octobre 2006, 16:37

je sais pas comment montrer que la somme de matrices symétriques est aussi symétrique et que la multiplication d'une matrice symétrique par un nombre est aussi symétrique car on a aucun chiffre alors je suis un peu perdue...j'ai pas tout compris...
on sait juste que S(n)=(M appartient à M(n) tq M=transposée de M) et je ne sais pas comment faire avec ça...c'est un peu abstrait...
un exemple concret peut etre?ou une explication sur mon "truc" abstrait??
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 16:43

Sais-tu ce qu'est la transposée d'une matrice ?
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Messagepar anne310 » Mardi 03 Octobre 2006, 16:47

oui j'ai compris ce qu'était la transposée. C'est après quand il faut montrer que c'est un sous espace vectoriel que je ne sais pas.comment montrer qu'une transposée est un sous espace vectoriel de M(n)?
anne310
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 16:59

Ce n'est pas une transposée qui est un espace vectoriel, mais l'ensemble de toutes les transposées qui en est un.

Par exemple une matrice symétrique dans $M(2)$ est

$$\left(
 \begin{array}{cc}
 a & b\\
 b & a\end{array} \right)$$



et :

$$\left(
 \begin{array}{cc}
 a & b\\
 b & a\end{array} \right) + 
 \left(
 \begin{array}{cc}
 c & d\\
 d & c\end{array} \right)=
 \left(
 \begin{array}{cc}
 a+c & b+d\\
 b+d & a+c\end{array} \right)$$



est aussi une matrice symétrique...
Pour le reste cela devrait aller...
Arnaud

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Messagepar anne310 » Mardi 03 Octobre 2006, 17:38

d'accord!ce qui m'eclaire sur la matrice transposée.maintenant, comment est ce que je montre que ma matrice transposée est un sous espace vectoriel.je sais juste que c'est une matrice carrée donc:
par exemple une matrice carrée de n*n


M ( n n ) et la transposée de la matrice M est (n n )
( n n ) (n n )

mais je ne vois pas comment avec ça je peux montrer que c'est un sous espace vectoriel...
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Messagepar guiguiche » Mardi 03 Octobre 2006, 17:42

Arnaud a écrit:Heu oui, je gardais les mêmes notations que dessus.

C'est sutout le $\R$ final qui doit être un $E$, ton doigt a fourché :lol: . Pour le reste, j'ai préféré rappelé par principe.
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Messagepar rebouxo » Mardi 03 Octobre 2006, 17:49

Je réécris ce qu'Arnaud t'as déjà dit.
La transposée d'une matrice est une matrice. Ce n'est pas un sous-espace vectoriel.
Un sous espace-vectoriel est un ensemble dont les élèments ont certaines particularités.
Ici, les éléments sont les matrices carrés, d'ordre $n$, qui sont égales à leurs transposées (c'est-à-dire les matrices symétriques d'ordre $n$). C'est sur les éléments de cet espace qu'il faut travailler.

En montrant :
- que l'addtition de deux matrices symétriques est symétiques (en es-tu persuadée ?)
- que le produit d'une matrice symétrique par un réel est une matrice symétrique.

En fait, à part écrire la définition d'un sous espace vectoriel, il n'y a pas grand chose à faire.

Autres exemples classiques de sous espace vectoriel:
les vecteurs (du plan, de l'espace, ...) d'où le nom.
les intégrales des fonctions continues.
les solutions des équations différentielles (mais je ne sais pas si tu as vu cela)
...
Beaucoup de chose en faite. Ce qui permet souvent d'avoir des analogies entre les vecteurs et d'autres notions qui forment un sous espace vectoriel.

Olivier
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Par solidarité, pas de MP
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Messagepar Arnaud » Mardi 03 Octobre 2006, 17:51

Ce n'est pas une transposée qui est un espace vectoriel, mais l'ensemble de toutes les transposées qui en est un.


En premier lieu, il va falloir comprendre qu'un matrice $n \times n$ est un tableau de $n$ lignes et $n$ colonnes...

Un peu de lecture avec quelques exemples te seront nécessaires avant de faire cet exercice :

Espaces vectoriels

Matrices

Oups désolé guiguiche j'avais pas vu mon erreur : mon commentaire était donc plus qu'inutile, il était idiot :D.
Arnaud

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Messagepar anne310 » Mardi 03 Octobre 2006, 19:09

ok j'ai compris ce qu'est la matrice et sa transposée.je bute encore sur le sous espace vectoriel...si j'ai bien compris pour montrer que c'est un sous espace vectoriel il faut d'une part que l'addition de 2 matrices est symétrique et que la multiplication de la matrice par un nombre reel donne une matrice symetrique.c'est bien cela??
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