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de **loïc67** le Lundi 15 Mars 2010, 07:01

Bonjour à tous,
voilà je suis en train de chercher s'il est possible de trouver une équation unique du type $a\sin \left(b\left(x-h \right) \right)$ ou bien (ou exclusif) $a\cos \left(b\left(x-h \right) \right)$ avec a>0

et

pour représenter une fonction sinusoïdale (sinus ou cosinus) en restreignant correctement l'ensemble dans lequel on prend

. Quand on laisse la possibilité aux paramètres

et

d'être positifs ou négatifs, il y a 8 possibilités (4 avec des sinus et 4 avec des cosinus) à chaque fois avec $h \in \left[ 0, \frac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ .
Pour l'instant je ne trouve pas et il est surement possible que cela n'existe pas. En effet, en prenant $h \in \left[ 0, \frac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ j'obtient une sinus et une cosinus.
D'avance merci.

de fp le Lundi 15 Mars 2010, 09:44

Il me semble que, si vous n'imposez pas le signe de

, si vous imposez à

d'être strictement positif et si vous imposez à

d'être dans l'intervalle $\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2b}\right[$ , alors la solution est unique.

En effet :

est unique et égal à $\dfrac{2\pi}{p}$ où est la période de votre fonction
est unique et égal au maximum de votre fonction
il reste donc à montrer que, si $0\leqslant h_1<\dfrac{\pi}{2b}$ et si $0\leqslant h_2<\dfrac{\pi}{2b}$ , alors les égalités
$a\sin(b(x-h_1))=a\cos(b(x-h_2))$ ou $a\sin(b(x-h_1))=-a\cos(b(x-h_2))$ qui doivent être valables pour tout conduisent chacune à une contradiction.

Dans le premier cas, on arrive à $h_2=h_1+\dfrac{\pi}{2b}$ ; dans le deuxième cas, on arrive à $h_2=h_1-\dfrac{\pi}{2b}$ ; ce qui, compte tenu des conditions sur et , est impossible.

En toute rigueur, il reste encore à montrer que toute fonction sinusoïdale peut bien s'écrire sous cette forme.

Soit donc

la fonction définie par $f(x)=\alpha\sin(\beta x-\gamma)$ avec $\alpha\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}$ , $\beta\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\}$ , $\gamm\in\mathbb{R}$ .

On peut supposer $\beta>0$ car sinon, en posant $\alpha'=-\alpha$ , $\beta'=-\beta$ et $\gamma'=-\gamma$ , on a :
$f(x)=\alpha'\sin(\beta' x-\gamma')$ .

Alors, $b=\beta$ .

On peut, bien évidemment, se ramener à un $\gamma\in\left[0\,;\,2\pi\right[$ .

Si $\gamma\in\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right[$ , alors $a=\alpha$ et $h=\dfrac{\gamma}{\beta}$ conviennent et $f(x)=a\sin(b(x-h))$ .

Si $\gamma\in\left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$ , alors $a=\alpha$ et $h=\dfrac{\gamma-\dfrac{\pi}{2}}{\beta}$ conviennent et $f(x)=a\cos(b(x-h))$ .

Si $\gamma\in\left[\pi\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right[$ , alors $a=-\alpha$ et $h=\dfrac{\gamma-\pi}{\beta}$ conviennent et $f(x)=a\sin(b(x-h))$ .

Si $\gamma\in\left[\dfrac{3\pi}{2}\,;\,2\pi\right[$ , alors $a=-\alpha$ et $h=\dfrac{\gamma-\dfrac{3\pi}{2}}{\beta}$ conviennent et $f(x)=a\cos(b(x-h))$ .

FP (qui espère n'avoir pas fait d'erreurs de calculs...

)

de **loïc67** le Lundi 15 Mars 2010, 15:24

Merci pour votre réponse, mais je ne comprends pas un point. En restreignant les paramètres

et

à des valeurs strictement positives, il existe deux équations qui représentent n'importe quelle fonction sinusoïdale. Ces équations sont $a\sin \left(b\left(x-h_1 \right) \right)$ et $a\cos \left(b\left(x-h_2 \right) \right)$ avec $h_i \in \left[ 0, \frac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ . Si l'on permet à

d'être également négatif, cela ne peut qu'augmenter le nombre d'équations. Dans tous les cas, mes deux premières équations feront toujours partie des solutions puisque l'ensemble $\left[ 0, \frac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ n'a pas été réduit.
Qu'en pensez-vous?

de fp le Lundi 15 Mars 2010, 15:40

loïc67 a écrit:Merci pour votre réponse, mais je ne comprends pas un point. En restreignant les paramètres et à des valeurs strictement positives, il existe deux équations qui représentent n'importe quelle fonction sinusoïdale. Ces équations sont $a\sin \left(b\left(x-h_1 \right) \right)$ et $a\cos \left(b\left(x-h_2 \right) \right)$ avec $h_i \in \left[ 0, \frac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ . Si l'on permet à d'être également négatif, cela ne peut qu'augmenter le nombre d'équations. Dans tous les cas, mes deux premières équations feront toujours partie des solutions puisque l'ensemble $\left[ 0, \frac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ n'a pas été réduit.
Qu'en pensez-vous?

Vous imposez à

d'être dans $\left[ 0, \dfrac{2\pi }{\left| b\right|}\right[$ alors que moi, je lui impose d'être dans $\left[ 0, \dfrac{\pi }{ 2b}\right[\cdotp$

FP

de **loïc67** le Lundi 15 Mars 2010, 19:59

Ok merci beaucoup, si cela ne vous dérange pas je vais utiliser

pour la période $\frac{2\pi }{\left| b\right|}$ .
J'avais regardé pour $h_i \in \left[ 0, \frac{P}{4}\right[$ mais comme j'étais partie sur l'idée d'avoir a, b>0

cela ne me convenait pas quand je travaillais avec la fonction $a\cos \left(b\left(x-h \right) \right)$ avec a, b>0

et $h\in \left[ \frac{P}{2}, P\right[$ modulo

car dans ce cas aucune des équations proposée ne pouvait représenter la même fonction. Malheureusement, je n'avais pas pensé de permettre à mon premier paramètre de changer de signe.
Par contre je pense que pour la deuxième partie il faut $a=-\alpha$ avec le cos et pour la dernière partie il faut $a=\alpha$ avec le cos.
Qu'en pensez-vous?
Merci et bonne soirée.

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Recherche d'équation unique pour une fonction sinusoïdale

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