[TS] Expression de suites

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[TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 10:39

Bonjour à tous,

Je suis confronté à une question sur les suites dont je ne vois pas le bout… :roll:

On a la suite $(u_n)$, définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{3x+2}{x+4}$. On sait d'après les questions précédentes que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \in [0\ ;\ 1]$ et que $(u_n)$ est croissante sur $\mathbb{N}$.

On a également la suite $(v_n)$, définie par $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}$. On sait qu'elle est géométrique de raison $\dfrac{2}{5}$ et que $v_0 = -\dfrac{1}{2}$.

La question qui m'est posée est la suivante : "Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$, puis en fonction de $n$, pour tout $n \in \mathbb{N}$."
J'ai essayé d'isoler $u_n$ dans l'expression $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2}$, mais sans succès…

Je pense qu'un petit coup de pouce ne serait pas de refus ! :D
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar evariste_G » Samedi 17 Septembre 2011, 11:21

Bonjour.
Ton idée est bonne : isoler $u_n$ dans l'expression que tu as, en utilisant les produits en croix. On arrive à exprimer (en développant puis en faisant apparaître un facteur à $v_n$) $v_n$ comme fonction homographique de $u_n$ (i.e. que $u_n=\frac{av_n+b}{cv_n+d}$). Comme $(v_n)$ est géométrique, on a son expression en fonction de $n$ et on remplace donc dans la dernière expression trouvée pour en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar Mikelenain » Samedi 17 Septembre 2011, 11:27

RichDeg a écrit:$u_{n+1} = \dfrac{3x+2}{x+4}$

je ne sais pas pour vous mais ceci me choque :o
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar evariste_G » Samedi 17 Septembre 2011, 12:00

Mikelenain a écrit:
RichDeg a écrit:$u_{n+1} = \dfrac{3x+2}{x+4}$

je ne sais pas pour vous mais ceci me choque :o


Oui, c'est une simple erreur d'étourderie je pense ... On définit souvent les suites récurrentes sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f(x)=\cdots$ donc je suppose que ce n'est pas volontairement qu'il a écrit cela ... Enfin j'espère :D
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 12:23

evariste_G a écrit:
Mikelenain a écrit:
RichDeg a écrit:$u_{n+1} = \dfrac{3x+2}{x+4}$

je ne sais pas pour vous mais ceci me choque :o


Oui, c'est une simple erreur d'étourderie je pense ... On définit souvent les suites récurrentes sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f(x)=\cdots$ donc je suppose que ce n'est pas volontairement qu'il a écrit cela ... Enfin j'espère :D


Mille excuses ! Il s'agit en effet d'une bêtise de ma part… :roll: Je voulais bien sûr écrire $u_{n+1} = \dfrac{3u_n+2}{u_n+4}$

Sinon, je crois que j'ai compris l'idée ;) Merci evariste_g ! :)
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar Mikelenain » Samedi 17 Septembre 2011, 13:16

en fait, je me suis demandé si c'était $u_{n+1} = \dfrac{3 n+2}{n+4}$ ou $u_{n+1} = \dfrac{3 u_n +2}{u_n + 4}$
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 13:43

Bon, j'ai fait le produit en croix, mais je vois pas quoi en faire… Voici mon calcul jusqu'à présent :

$ \begin{array}{rrl} v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2} \Longleftrightarrow  & v_n (u_n + 2) & = 1 (u_n -1)\\ \Longleftrightarrow & v_n u_n + 2v_n & = u_n - 1\\ \Longleftrightarrow & v_n u_n + 2v_n + 1 & = u_n\\ \end{array}$

Je fais quoi ensuite ? Je ne me suis jamais retrouvé devant une expression de ce type-là… :?
Dernière édition par kojak le Samedi 17 Septembre 2011, 16:15, édité 1 fois.
Raison: Suppression de Large !
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar evariste_G » Samedi 17 Septembre 2011, 15:43

Comme je l'ai dit précédemment, tu dois te débrouiller pour mettre tous les $u_n$ d'un côté et les autres termes de l'autre. Ensuite, tu factorises $u_n$ et tu divises le tout par son coefficient.
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 16:11

Je ne vois toujours pas où cela me mène… J'ai bien $u_n$ qui est isolé dans mon membre de gauche, mais j'ai encore beaucoup de termes contenant $u_n$ dans mon membre de droite !

$ \begin{array}{rrl} v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 2} \Longleftrightarrow  & v_n (u_n + 2) & = 1 (u_n -1)\\ \Longleftrightarrow & v_n u_n + 2v_n & = u_n - 1\\ \Longleftrightarrow & u_n(v_n + \dfrac{2v_n}{u_n}) & = u_n - 1\\  &  &  &  \\ \Longleftrightarrow & u_n & = \dfrac{u_n - 1}{v_n + \dfrac{2v_n}{u_n}}\\  \end{array}$

Comment éliminer les termes en $u_n$ ?
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar evariste_G » Samedi 17 Septembre 2011, 16:15

Tu n'as pas respecté mes consignes; une fois les produits en croix développés, on met les $u_n$ d'un même côté et les autres termes de l'autre ... Ce n'est que sous cette condition que tu pourras factoriser par $u_n$ d'un côté ...
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar kojak » Samedi 17 Septembre 2011, 16:20

RichDeg a écrit:$   v_n (u_n + 2) = 1 (u_n -1)$

$\Longleftrightarrow  v_n u_n + 2v_n  = u_n - 1$

OK jusque là.


ceci ne sert à rien :
RichDeg a écrit:$\Longleftrightarrow  u_n(v_n + \dfrac{2v_n}{u_n})  = u_n - 1$



RichDeg a écrit:Comment éliminer les termes en $u_n$ ?
en regroupant dans un des membres de ton égalités, tous les $u_n$ et tout le reste dans l'autre membre.

C'est comme si tu avais $xy+2y=x-1$ et que tu veux exprimer $x$ en fonction de $y$.

PS : inutile de mettre tout en Large, on n'est pas encore trop bigleux...
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 16:30

Oh, ça y est, j'y suis ! Merci beaucoup pour votre patience, je suis un peu dur de la feuille quand il s'agit d'algèbre… :wink:

kojak a écrit:PS : inutile de mettre tout en Large, on n'est pas encore trop bigleux...


Désolé, c'est juste qu'il y a un sacré crénelage sur les polices LaTeX et j'avais peur des méprises entre $u_n$ et $v_n$, surtout sur des calculs sur plusieurs lignes…

Merci encore !
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar kojak » Samedi 17 Septembre 2011, 16:49

Et tu as trouvé quoi ?
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 16:53

Alors, j'ai trouvé $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1 - v_n}$… Je ne me suis pas encore occupé de l'expression en fonction de $n$
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar evariste_G » Samedi 17 Septembre 2011, 17:01

RichDeg a écrit:Alors, j'ai trouvé $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1 - v_n}$… Je ne me suis pas encore occupé de l'expression en fonction de $n$


C'est ça.
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 17:22

evariste_G a écrit:
RichDeg a écrit:Alors, j'ai trouvé $u_n = \dfrac{2v_n + 1}{1 - v_n}$… Je ne me suis pas encore occupé de l'expression en fonction de $n$


C'est ça.


Ah, me voilà rassuré ! :)

Pour l'expression en fonction de $n$, je replonge dans les lignes de calcul à rallonge et je suis encore perdu…

J'ai remplacé $v_n$ par son expression, calculée précédemment, à savoir $-\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

J'ai simplifié un peu, mais ça ne me permet pas répondre à la dernière question, à savoir "déduire la convergence et le limite de $(u_n)$

Voici l'expression à laquelle je suis néanmoins parvenu :

$$u_n = \dfrac{-\left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 1}{\dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$$

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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar evariste_G » Samedi 17 Septembre 2011, 17:39

Voiilà. C'est cela. A priori, pas de simplification supplémentaire à apporter.
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar kojak » Samedi 17 Septembre 2011, 17:51

J'ai un gros doute sur ton l'expression de ton dénominateur $1-v_n$ après avoir remplacé $v_n$ par ton expression.
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar RichDeg » Samedi 17 Septembre 2011, 17:53

@Evariste_G : Ah bon ? Pourtant, je ne peux pas calculer la limite en $+\infty$ de cette expression… De plus, j'ai été amené à conjecturer que cette suite convergeait vers 1.

$$\lim_{n \rightarrow +\infty} -\left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 1 = 1\text{ et } \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n\right) = 0$$



Un réel sur un nombre proche de 0 ? Ca tend vers un infini, non ?

@kojak : $1 - v_n = 1 -\left(-\dfrac{1}{2}\right) \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n = \dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n$

Non ?
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Re: [TS] Expression de suites

Messagepar kojak » Samedi 17 Septembre 2011, 17:57

RichDeg a écrit:

$$\lim_{n \rightarrow +\infty} -\left(\dfrac{2}{5}\right)^n + 1 = 1\text{ et } \lim_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{3}{2} \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^n\right) = 0$$



Pourquoi ceci ? qui est correct cependant.


RichDeg a écrit:Un réel sur un nombre proche de 0 ? Ca tend vers un infini, non ?
car tu as fait une erreur au dénominateur comme je te l'ai précisé.
pas d'aide par MP
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