[TS] Congruences

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Lycée.

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[TS] Congruences

Messagepar guiguidu93 » Samedi 18 Octobre 2008, 13:52

Bonjour!
Voila j'ai des exercices pour un DM qui sont assez répétitifs, mais je n'arrive pas a trouver la méthode...Pourriez vous m'aider svp?
Alors voici le type d'exercices:

déterminez l'ensemble E des entiers relatifs x tels que le nombre n= x(au carré)-x+2 est divisible par 7 et par 3

k est un entier relatif. verifiez que si x=1+21k ou x=-2+21k alors n est divisible par 42.

merciiiii
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Re: Congruences terminale s

Messagepar balf » Samedi 18 Octobre 2008, 14:14

Il faut déterminer les classes de congruence des carrés modulo 7, puis en déduire les classes de congruence de n²-n+2 (toujours modulo 7) en fonction de la classe de n, puis déterminer dans quel cas on obtient 0. Il y a intérêt à écrire ces classes de congruences 0, ±1,±2, ±3. Même méthode pour les classes modulo 3.

B.A.
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Re: Congruences terminale s

Messagepar guiguidu93 » Samedi 18 Octobre 2008, 14:20

je suis dsl mais j'ai vraiment pas compris ^^
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Re: Congruences terminale s

Messagepar balf » Samedi 18 Octobre 2008, 14:26

Vous savez ce qu'est une classe de congruence ?

B.A.
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Re: Congruences terminale s

Messagepar guiguidu93 » Samedi 18 Octobre 2008, 14:44

ah non je suis qu'en terminale S...
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Re: Congruences terminale s

Messagepar balf » Samedi 18 Octobre 2008, 15:11

Oui mais les congruences, elles, sont au programme. Bref, la classe de congruence d'un entier n, disons modulo 3, c'est l'ensemble de tous les entiers qui donnent le même reste quand on les divise par 3. Autrement dit, c'est une façon de classer les entiers selon le reste de leur division par 3. Ce reste ne peut qu'être égal à 0, 1 ou 2. Par exemple la classe de 2 contient 2, 5, 8, 11, etc. et dans l'autre sens, -1, -4, -7, etc. ; elle constitue une suite arithmétique, étendue dans les deux sens. En particulier, la classe de 2 est la même que celle de -1 ; et dire qu'un entier est divisible par 3 revient à dire qu'il est dans la classe de 0.

Les règles d'utilisation des congruences sont les mêmes que celles de l'égalité (ceci doit figurer dans votre cours, si vous avez déjà vu les congruences, à défaut de leurs classes) ; en particulier si $n\equiv n'$, alors $n^2\equiv n'^2$. Comme tout entier n est congru à 0, 1 ou -1, on voit que son carré est congru à 0²=0, 1²=1 ou (-1)²=1 encore. Par conséquent n²-n+2 est congru à ... (là il faut examiner les différents cas possibles).

Est-ce que c'est plus clair ?

B.A.
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Re: Congruences terminale s

Messagepar guiguidu93 » Samedi 18 Octobre 2008, 15:40

vous allez me trouver bete mais absolument pas plus clair!
désolé...
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Re: Congruences terminale s

Messagepar balf » Samedi 18 Octobre 2008, 15:45

Ce n'est pas une question d'intelligence, mais de familiarité avec une notion qui est tout à fait nouvelle. Avez-vous vu les congruences en cours ?

B.A.
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Re: Congruences terminale s

Messagepar guiguidu93 » Samedi 18 Octobre 2008, 16:07

oui mais dans la simplicité la plus absolue!
j'ai vraiment du mal avec ce que vous m'avez dit au dessus!
en tout cas c'est gentil d'avoir cette patience! :D
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Re: Congruences terminale s

Messagepar balf » Samedi 18 Octobre 2008, 23:34

Pour en revenir à votre exercice, ce que je voulais dire, c'est que, selon le reste de la division de x par 7 d'abord, puis par 3, vous déterminez, en vous aidant des règles de calcul avec les congruences, le reste de la division de n=x²-x+2 par 7 (resp. par 3). Le nombre n sera divisible par 7 (3) si et seulement si ce reste est 0. Cela permet donc de dire pour quelle(s) valeur(s) du reste de la division de x par 7 (3) le nombre n sera divisible par 7 (3). J'ezspère avoir été plus clair en parlant de restes au lieu de classes de congruence...

B.A.
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