[TS] Congruences

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[TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 16:19

Bonjour j'ai vraiment un problème à l'exercice suivant, je n'arrive pas à determiner les restes ...

enoncé :
déterminer , suivant le reste de la division euclidienne de n par 7 , celui de la division euclidienne de $n^3$ par 7.
demontrer que si $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ congru à 0 [7] alors abc congru à 0 [7]

merci de votre aide !
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Re: [TS] Congruences

Messagepar Jean-charles » Samedi 27 Octobre 2007, 16:31

Bonjour
Il faut déjà que tu calcules tous les cubes modulo 7 pour tous les restes possibles...
Si $n \equiv 0 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 1 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$ etc
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 16:44

merci !
pour la demonstration est-il possible de faire un raissonnement par l'absurde ?
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Re: [TS] Congruences

Messagepar Jean-charles » Samedi 27 Octobre 2007, 17:19

Tu n'as pas besoin de faire un raisonnement par l'absurde.
Le plus simple c'est que tu regardes à quoi doivent être égaux les cubes modulo 7 pour avoir $a^3+b^3+c^3  \equiv 0 (\mod 7)$.
Et de ensuite calculer la valeur de $abc$ modulo 7.
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 17:32

euh je bloque quand même :?
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Re: [TS] Congruences

Messagepar Jean-charles » Samedi 27 Octobre 2007, 17:40

Qu'as-tu trouvé comme valeurs possibles pour $a^3$ modulo $7$ ?
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 18:10

ben je sais pas justement :x
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Re: [TS] Congruences

Messagepar Jean-charles » Samedi 27 Octobre 2007, 18:23

Modulo 7, tu n'as que 7 restes possibles (de 0 à 6)
Alors essaye de compléter:
Si $n \equiv 0 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 1 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 2 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 3 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 4 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 5 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
Si $n \equiv 6 (\mod 7)$ alors $n^3 \equiv ... (\mod 7)$
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 18:50

c'est bon !
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Re: [TS] Congruences

Messagepar kojak » Samedi 27 Octobre 2007, 19:06

Pour $2$, ce n'est pas $-1$ : $2^3=8$, donc le reste est ...

De plus, je préfère des congruences à des entiers naturels et non à des relatifs, donc à la place de $-1$, tu peux mettre.... :?:
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 19:11

1 le reste pour 2
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Re: [TS] Congruences

Messagepar kojak » Samedi 27 Octobre 2007, 19:13

Oui, et donc la suite :wink:
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 19:18

après c'est la que je sais pas ce qui faut mettre faut chercher a, b et c ?
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Re: [TS] Congruences

Messagepar kojak » Samedi 27 Octobre 2007, 19:20

On te dit : si $a^3+b^3+c^3$ congru à $0$ modulo $7$, quelles sont alors les valeurs possibles pour $a^3,b^3,c^3$ modulo $7$ d'après ce que tu as fait auparavant :?:
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 19:24

0; 1 et -1 ?
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Re: [TS] Congruences

Messagepar kojak » Samedi 27 Octobre 2007, 19:28

Oui, c'est ça pour les valeurs de $a^3,b^3,c^3$, donc pour une des 3 lettres $a,b$ ou $c$, il y en a une qui vaut ..... et donc le produit vaut ... modulo $7$, bien sur.
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Re: [TS] Congruences

Messagepar Jean-charles » Samedi 27 Octobre 2007, 19:30

chris107 a écrit:0; 1 et -1 ?

oui cela veut dire que un des trois cubes vaut $0$ modulo $7$.
Mettons que cela soit $a^3 \equiv 0 (\mod 7)$, cela implique quoi pour $a$ modulo 7 ? Et pour $abc$ ?
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 19:32

vu qu'une lettre prend la valeur de 0 le produit de abc vaut aussi 0
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Re: [TS] Congruences

Messagepar kojak » Samedi 27 Octobre 2007, 19:36

Ben, j'crois bien que oui :wink:
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Re: [TS] Congruences

Messagepar chris107 » Samedi 27 Octobre 2007, 19:38

c'est bon j'ai conclu !
encore un grand merci a vous deux !
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