Comment calculer les dérivées de sin, cos et tan ?

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Comment calculer les dérivées de sin, cos et tan ?

Messagepar Cayuela » Vendredi 09 Février 2007, 18:32

Bonjour à tous!!!

Je ne post pas trés souvent içi, car pour le moment, je me débrouille pas trop mal en mathématique!!
J'ai réussi pour le moment à calculer les dérivées des fonctions usuelles, mais je n'arrive pas à calculer les dérivées des fonctions comme sin x , cos x et tan x.

Soit les fonctions:

f(x) = sin x
g(x) = cos x
h(x) = tan x

Montrer que f'(x) = cos x
Montrer que g'(x) = - sin x
Montrer que h'(x) = 1 / cos ^2 x = 1 + tan ^2 x

Le signe ^ signifie exposant

J'aimerais avoir une démonstration complète pour parvenir à ces 3 dérivées, sachant que la formule générale pour calculer une dérivée est:

f'(a) = lim lorsque h tend vers 0 de f(a+h) - f(a) / h

D'abord, je pense qu'il faut calculer le taux d'accroissement de a à (a+h) des fonctions f(x), g(x) et h(x), mais après je sais pas comment calculer, car ce qui me trouble, c'est le calcul avec le sinus, le cosinus et la tangente :oops:

Je remercie la personne qui me montrera la démonstration complète afin de parvenir à ces trois dérivées, ça fait plusieurs jours que je cherche, mais sans succès sur ces trois dérivées qui me posent un gros soucis!! :cry:

Comment on obtient ces trois dérivées à partir de ces trois fonctions de références??
Je suis en deuxième année du cycle préparatoire au DAEU B au CNED, je fais des cours par correspondance. Le problème, c'est que je suis pas fort en math et j'aimrais que l'on m'explique le plus simplement possible.
Cayuela
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Messagepar kilébo » Vendredi 09 Février 2007, 19:51

Pour f et g, c'est l'application des formules de trigo et des limites classiques. Pour h, c'est une composition.
A une erreur de calcul et de raisonnement prêt, tout cela doit être correct.
kilébo
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re

Messagepar chaplanes » Vendredi 09 Février 2007, 20:02

bonjour, je suis en terminale s, et je pense avoir trouvé la réponse à 2 de tes questions.

$\blacksquare$ Pour f(x)=sin (x) :

L'accroissement moyen de f en x s'écrit:

$\dfrac{sin(x+h)-sin(x)}{h}$ = $\dfrac{sin(x)*cos(h)-sin(h)*cos(x)-sin(x)}{h}$ = sin(x)* $\dfrac{cos(h)-1}{h}$- $\dfrac{sin(h)}{h}$ *cos(x)

on démontre alors que: $\ds\lim_{h \rightarrow 0  \1} \dfrac{sin(h)}{h}=1$ et que: $\ds\lim_{h \rightarrow 0 \1} \dfrac{cos(h)-1}{h}=0$

d'où: $\ds\lim_{h \rightarrow 0 \1} \dfrac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=cos(x)$

Donc f'(x)=cos(x)

$\blacksquare$ Pour f(x)=tan(x):

On sait que tan(x)=$\dfrac{sin(x)}{cos(x)}$

et que c'est de la forme u/v, donc f'(x) sera $\dfrac{u'*v-u*v'}{v^2}$

donc: f'(x)= $\dfrac{cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x))}{cos(x)}$ = $\dfrac{1}{cos^2(x)}$ = $1+tan^2(x)$

voila. pour la seconde dérivée, je ne vois pas trop comment faire, et j'espère que mes réponses t'ont été utiles. bonne soirée.
chaplanes
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Re: re

Messagepar kojak » Vendredi 09 Février 2007, 20:48

Bonjour,
A titre personnel, je ne démontre pas ces formules derivées pour le $\sin$ et $\cos$ en S, car cela fait appel à des formules de trigo qui ne sont plus d'actualité même en S.... Je leur montre l'interprétation graphique avec géogebra sur la pente de la tangente et ensuite le théorème est admis..
Alors en DAEU, je ne vois pas du tout l'utilité de démontrer ces formules, mis à part le fait de répondre à une question posée par le CNED... :roll:

chaplanes a écrit:on démontre alors que: $\ds\lim_{h \rightarrow 0  \1} \dfrac{sin(h)}{h}=1$ et que: $\ds\lim_{h \rightarrow 0 \1} \dfrac{cos(h)-1}{h}=0$
ben j'aimerais savoir comment tu fais ici ? Car toi, tu justifies ceci grace à la dérivation, ou bien en faisant un exo complet niveau S pour le démontrer sans la dérivée, car ces 2 limites sont justement respectivement le nombre dérivé de la foncion $\cos$ et $\sin$ en $0$....

Pour la dérivée de la tangente, OK avec la dérivée d'un produit...
pas d'aide par MP
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Messagepar Tunaki » Vendredi 09 Février 2007, 20:50

La démonstration de la dérivée de $\cos x$ est analogue à celle que vient de dire chaplanes.
On a :
$\begin{aligned}
 \dfrac{\cos(x + h) - \cos h}{h} & = \dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}\\
  & = \cos x \, \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x \, \dfrac{\sin h}{h}
 \end{aligned}$

Grâce aux limites dites par chaplanes, la conclusion est très facile. La démonstration de ces limites est par contre plus astucieuse, mais là n'est pas le problème.
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Messagepar bibi6 » Vendredi 09 Février 2007, 21:22

Bonsoir,

Pour le $\cos$, une fois le $\sin$ démontré, il suffit de remarquer que $\sin (x + \dfrac{\pi}{2}) = \cos x$. D'où dériver le $\cos$ donnera le même résultat que de dériver l'expression. En faisant les calculs on doit bien tomber sur $- \sin x$ (en réutilisant la relation avec $x -> x+\dfrac{\pi}{2}$).

Pour démontrer le résultat sur les limites, il est possible de le faire avec les développements de Taylor... mais je sais pas si c'est vu au lycée (ou alors, sûrement après ce qui concerne les dérivations).
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Messagepar cerise » Vendredi 09 Février 2007, 21:39

Non, les développements de Taylor ne sont pas vus au lycée...
Il fallait être Newton pour apercevoir que la Lune tombe quand tout le monde voit bien qu'elle ne tombe pas.
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Messagepar guiguiche » Vendredi 09 Février 2007, 22:33

On en revient à ce que dit kojak : les deux limites qu'il indique sont-elles admises ou à démontrer (ce qui n'est pas totalement simple en S) ?
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar Tunaki » Samedi 10 Février 2007, 11:23

Je suis en Terminale et les deux limites $\lim\limits_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x}{x} = 1$ et $\lim\limits_{x \to 0} \, \dfrac{\cos x - 1}{x} = 0$ sont bien à démontrer. Mon prof me les a donné à démontrer dans un contrôle.

Je ne connais pas les dévellopement de Taylor mais pour démontrer ces formules, je fais comme ça :

Cherchons l'approximation affine tangente de $\sin x$ en $0$. Appelons là $y$ :
$\begin{aligned}
 y & = \cos 0 (x - 0) + \sin 0\\
  & = x
 \end{aligned}$

Donc :

$\lim\limits_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \, \dfrac{x}{x} = 1$.
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Messagepar Tryphon » Samedi 10 Février 2007, 11:24

A ma connaissance, la seule façon de démontrer ces limites est un raisonnement géométrique sur des considérations d'aires dans le cercle trigonométrique, avec quelques passages un peu bancals (aux) comme tout raisonnement géométrique de lycée, mais suffisamment convaincant.

Il y en a une autre (niveau lycée ?)
Pas de questions en MP
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Messagepar kilébo » Samedi 10 Février 2007, 11:28

Oui, en lisant vos commentaires, je me demande si tout cela ne se mord pas la queue si l'on veut rester au niveau terminale...

Je n'ai pas le texte sous les yeux mais le préambule du Rudin ne répond-il pas à la question ?
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Messagepar guiguiche » Samedi 10 Février 2007, 11:39

kilébo a écrit:Je n'ai pas le texte sous les yeux mais le préambule du Rudin ne répond-il pas à la question ?

Enfin bon en terminale, les fonctions holomorphes ... dérivabilité d'une série de fonction !!!
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Messagepar Tryphon » Samedi 10 Février 2007, 11:42

Tunaki : ta démo ne tient pas, comme dit Kilébo tu te mords la queue. En effet, on veut démontrer la formule de la dérivée de $\sin x$ et on a besoin pour ça de la limite de $\dfrac{\sin x}{x}$. Or, tu démontres cette limite en utilisant le nombre dérivé de $\sin x$ en $0$...

Kilébo : si, on peut faire quelque chose d'à peu près tenable par la méthode à laquelle j'ai fait référence (je n'en connais pas d'autres). Mais de toutes façons, pour être vraiment rigoureux avec les fonctions trigonométriques, il faut les définir par séries entières.
Pas de questions en MP
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Messagepar guiguiche » Samedi 10 Février 2007, 11:47

Tryphon a écrit:si, on peut faire quelque chose d'à peu près tenable par la méthode à laquelle j'ai fait référence (je n'en connais pas d'autres).

Je crois avoir vu passer sur le forum les-mathematiques.net diverses propositions de démo un jour. LeFuret pourrait nous faire une petite recherche, non :wink:
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Messagepar kojak » Samedi 10 Février 2007, 14:06

Je crois bien que tout le monde tourne autour du pot sans mettre les pieds dedans :P
Dans le secondaire, on ne peut pas démontrer ces formules car pour en démontrer une, il faut l'autre et inversement.... :roll:
pas d'aide par MP
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Messagepar Arnaud » Samedi 10 Février 2007, 14:40

Ce que chaplanes a écrit est tiré du cours de Costantini.
C'est étonnant de la part de Costantini d'écrire cela.
Arnaud

Un peu d'info - Pyromaths
LaTeX - Exemples de formules LaTeX

Pas d'aide en MP (non plus)
Arnaud
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Messagepar kojak » Samedi 10 Février 2007, 15:32

Arnaud a écrit:Ce que chaplanes a écrit est tiré du cours de Costantini.
C'est étonnant de la part de Costantini d'écrire cela.
Pas tout à fait car ces 2 formules de limites ont été démontrées en Dm sous forme géométrique, ce que cherche Tryphon, me semble-t-il :roll: http://perso.orange.fr/gilles.costantin ... /DM3TS.pdf
:
pas d'aide par MP
kojak
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Messagepar Cayuela » Samedi 10 Février 2007, 15:55

Oulà....

Moi je demande simplement une démonstration de ces trois dérivées, je dois rappeler que je fais des cours par correspondance avec le CNED, il s'agît d'une pré-DAEU B scientifique, (cette année, je ne passe pas de concours).

La pré-DAEU B scientifique est un cycle PREPARATOIRE, qui consiste à se PREPARER à l'année de formation au DAEU B, c'est comme si c'était en réalité une remise à niveau des connaissances, car elle me faisait défaut pour attaquer l'année du DAEU B propement dit qui se clôture par un examen dans une université à proximité de mon lieu de résidence. Ce cycle préparatoire dure 2 ans, j'en suis à ma deuxième année, et le niveau que j'aborde en ce moment est celui d'une première S des lycées, donc je n'ai pas encore toutes les connaissances indispensables, pour vous suivre.

Ce que je demande simplement, c'est une démonstration qui aboutisse, à partir des trois fonctions que j'ai cité au préalable, aux trois dérivées, car, même en ayant revue les bases de trigonométrie d'un cercle, j'ai toujours beaucoup de difficultés à calculer par exemple pour f(x) = sin x: (taux d'accroissement de a à (a+h)) : t(h) = f(a+h) - f(a) / h = sin (a+h) - sin (a) / h

Sin (a+h) = ??

sin (a) = ??

Je n'arrive pas à calculer ça!!! Pareil pour g(x) ou il faut trouver g'(x) et h(x) ou il faut trouver h'(x)...

Pourtant je connais bien la trigonométrie et les formules, mais je n'arrive pas à calculer içi...

Moi j'ai appris et fait moi même les démonstrations mathématiques pendant mon DAEU, ces formules que je vous met:

cos^2 x + sin^2 x = 1

cos (0) = 1
sin(0) = 0
cos (pi / 6) = racine de 3 / 2
Sin (pi / 6 )= 1/2
cos (pi / 4)= racine de 2 / 2
sin (pi / 4) = racine de 2 / 2
cos ( pi / 3)= 1/2
sin (pi / 3) = racine de 3 / 2
cos (pi / 2) = 0
sin ( pi / 2) = 1
cos (pi) = -1
sin (pi) = 0 Tous ça se sont des valeurs remarquables que l'on peut trouver sur le cercle trigonométrique.

Après, j'ai apris les formules trigonométriques usuelles:

1) cos (-x) = cos x
sin (-x) = - sin x

2) cos (pi - x) = - cos x
sin (pi - x) = sin x

3) cos (pi + x) = - cos x
sin ( pi + x) = - sin x

4) cos (pi/2 - x) = sin x
sin (pi/2 - x) = cos x

5) cos (pi/2 + x) = -sin x
sin (pi/2 + x) = cos x

Voilà toutes les formules que j'ai apprise, c'est pour vous situer mon niveau en mathématique.

Après, je sais pas quelle formule je dois utiliser pour trouver mes dérivées, j'aimerais savoir car pour moi je comprend mieux de cette manière. Je n'apprend pas bêtement les formules (car je ne sais pas apprendre par coeur), mais je cherche à savoir comment on est parvenu à cette formule.

Je démontre à chaque fois comment on parvient à ces formules. Ca peut pour certains d'entre vous, vous paraître une perte de temps de ma part, mais pour moi c'est essentiel, car une fois que je parvient à le démontrer, même si un jour, j'oublie cette formule, je peut l'a retrouver, en faisant une démonstration mathématique, c'est comme ça que je retrouve mes anciennes formules, et je ne l'ai oublie pas par conséquent!!!

:wink:
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Messagepar kojak » Samedi 10 Février 2007, 16:17

Cayuela a écrit:Ce que je demande simplement, c'est une démonstration qui aboutisse, à partir des trois fonctions que j'ai cité au préalable, aux trois dérivées,.
Nous t'avons répondu là dessus : va lire le lien que j'ai posté...
En résumé, au lycée ces deux dérivées sont admises !!!!

Cayuela a écrit:Je démontre à chaque fois comment on parvient à ces formules. Ca peut pour certains d'entre vous, vous paraître une perte de temps de ma part, mais pour moi c'est essentiel, car une fois que je parvient à le démontrer, même si un jour, j'oublie cette formule, je peut l'a retrouver, en faisant une démonstration mathématique, c'est comme ça que je retrouve mes anciennes formules, et je ne l'ai oublie pas par conséquent!!!
Dans le cas présent, c'est inutile et compliqué et c'est réellement une perte de temps.; Je doute que tu redémontres à chaque fois la formule de dérivation d'un produit de 2 fonctions, ou celle des fonctions composées.; Il y a (mal)heureusement des fois, où tu n'auras pas le choix que d'apprendre par coeur des formules....
Je doute aussi que tu redémontres à chaque fois les formules $\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a \sin b$ etc....
De plus, parmi les formules que tu proposes, d'ailleurs au passage, un petit effort pour $\LaTeX$...., ça ne sert à rien de les apprendre : il sufffit d'être capable de les retrouver sur le cercle trigonométrique : en particulier $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ et les suivantes : je ne les connais pas par coeur, car 3 fois sur 4 je me trompe de signe, cependant avec mon petit cercle trigo tracé à main levée, je les retrouve en 3 secondes....
Cependant, il y a un moyen simple de se rappeler des dérivées du $\sin$ et $\cos$ à l'aide du cercle trigo : quand on dérive, on fait une "rotation"" de 90° dans le sens rétrograde (sens des aiguilles d'une montre) et donc comme l'axe des $\sin$ "positifs"est l'axe des ordonnées, son image est l'axe des abscisses "positifs" donc $\cos$, l'image de l'axe des $\cos$ "positifs" est l'axe des $\sin$ mais négatifs, donc -\sin$, etc...

Pour la dérivée de la tangente, il suffit de faire avec la formule de dérivation du quotient, comme cela t'a déjà été dit, et qu'il ne faut pas redémontrer à chaque fois que tu l'utilises....
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Messagepar Cayuela » Samedi 10 Février 2007, 16:21

Moi je fonctionne comme ça pour apprendre, je démontre tous...

Sinon, je retient rien j'ai pas de mémoire pour ça, 1 semaine après, j'ai déjà tout oublié si je ne m'efforce pas de l'ai démontrer.

Comment tu fais pour démontrer avec un cercle?

Car moi je fais tous par le calcul...
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