Fonctions implicites

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Fonctions implicites

Messagepar Lavisi » Samedi 18 Décembre 2010, 15:35

Pourriez vous m'aider, je ne sais pas comment commencer?

On considère la surface torique donnée par l'équation suivante :

f (x, y, z) = 4a²(x² + y²) – (x² + y² + z² + a² - b²)² = 0 ,

a > b

Calculer l'intersection avec la surface d'équation :

g (x, y, z) = x² + y² - c² = 0,

a – b<=c<=a +b

On gardera la forme implicite la plus simple pour cette intersection. Quelle est la nature de cette intersection ?

Je sais que je dois résoudre le système de ses deux équations, mais je n’arrive pas.
J’ai essayé comme ça :
x² + y² = c²
4a²c² – (c² + z² + a² - b²)² = 0,
(2ac)² – (c² + z² + a² - b²)² = 0,
(2ac – c² - z² - a² + b²)(2ac + c² + z² + a² - b²) = 0
Après je suis perdu…
Lavisi
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Re: Fonctions implicites

Messagepar balf » Samedi 18 Décembre 2010, 21:42

Il est inutile de factoriser. La dernière égalité donne : z²+a²+c²—b²= ±2ac, d'où z²= b²— (a±c)² et donc z=±...
Il reste à discuter si b²—(a±c)²>0 pour avoir le nombre exact de solutions, qui ne dépend pas de x et y (le problème est à symétrie cylindrique). L'intersection sera donc la réunion d'un certain nombre de cercles horizontaux tracés sur le tore.

B.A.
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