Fonction lipschitzienne / Théorème de Rademacher

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Fonction lipschitzienne / Théorème de Rademacher

Messagepar Tonn83 » Vendredi 17 Juin 2011, 18:09

Bonjour,

Le théorème de Rademacher affirme que toute fonction lipschitzienne $f:\R^n\to\R$ est différentiable presque partout, et que la différentielle $df$ est une une-forme mesurable essentiellement bornée.

Pour tout $y\in \R^{n-1}$, la fonction $f_y:x\mapsto f(x,y)$ est également différentiable presque partout (car lipschitzienne). On dispose donc d'une fonction dérivée (au sens faible) $f_y'\in L^{\infty}(\RRR,\RRR)$. La question que je me pose est alors la suivante :
La fonction $y\mapsto f_y'$ est-elle continue pour la topologie *-faible ?
En clair, pour toute fonction intégrable $g:\R\to \R$, a-t-on $y\mapsto \int_{\R}f_y'g$ continue ?

Par exemple, $\int_a^bf_y'=f_y(a)-f_y(b)$ est bien une fonction continue de $y$. :roll:
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