[M2] Variété,topologie dif,indice de points singulier isolés

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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[M2] Variété,topologie dif,indice de points singulier isolés

Messagepar urb02 » Vendredi 11 Janvier 2013, 20:19

bonjour

j'ai ces deux 'exercices (parmis d'autre pour un dm) et j'aimerais avoir de l'aide, des suggestions, etc (surtout le deuxieme). merci d'avance.

exercice 1
On considère la variété $S^{2}$ et son atlas à deux stéréographiques $U_{S}$ (projection du pôle nord) et $U_{N}$ (projection du pôle sud). Soit (x,y) les coordonnées de $U_{S}$. On associe à (x,y) la coordonnées complexe $ z = x + iy \in \mathbb{C}$ . Ceci nous permet à identifier $S^{2} = U_{S} \cup \{ N \}$ avec $\mathbb{C} \cup \{\infty \}$.
a) Soit $f(z)= \sum_{k=0}^{n} a_{k} z^{k}$ un polynôme complexe. Montrer que f(z) définit une application lisse de $S^{2}$ dans elle même.
b) Trouver les points critiques de cette application.
c) Généraliser a et b sur le cas d'une fonction rationnelle f(z).

exercice 2
Soient $D \subset \Re^{n}$ un domaine compact et $\partial D = M$ une sous-variété. Supposons que $\omega$ est un champ de vecteur défini sur D et possédant les propriétés suivantes:
1) Les points singuliers de $\omega$ sont isolés et se trouvent à l'intérieur de D;
2) $\omega(x), \quad \omega \in M$ est transversal à M et de direction extérieur.
On définit $f: M \longrightarrow S^{n-1}$ en posant

$$ f(x) = \dfrac{\omega(x)}{\Vert \omega(x) \Vert}.$$

Démontrer que

$$ \sum_{p \in D} \textbf{ind}(\omega,p) = \textbf{deg f},$$

ou p parcourt les points singuliers de $\omega$.
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Re: [M2] Variété,topologie dif,indice de points singulier is

Messagepar Tonn83 » Samedi 12 Janvier 2013, 16:14

Bonjour,

Non, nous ne donnons pas sur ce forum des corrigés à vos devoirs. Nous pouvons vous aider et vous conseiller mais veuillez d'abord nous expliquer ce que vous avez déjà réalisé.
Quelles questions dans ces exercices vous posent problème ? Comprenez-vous déjà l'énoncé ? Etes-vous arrêté par des mots de vocabulaire ? Quelles pistes avez vous déjà essayées ? Avez vous abouti à des réponses au moins partielles ?

Rq : S'agit-il d'un M1 ou d'un M2 (doutes) ? Quels livres sur la topologie différentielle avez-vous ? Quelles lectures complémentaires suggérées ?

Cordialement,
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Re: [M2] Variété,topologie dif,indice de points singulier is

Messagepar urb02 » Dimanche 13 Janvier 2013, 18:30

Bonjour

il s'agit d'un sujet de M2. J'ai reussit le premier exo mais je ne sais pas du tout comment faire, omment partir, pour le deuxieme exercice.

Je me sert du livre de J.Lafontaine: " introduction aux variétés différentielles".
merci.
urb02
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Re: [M2] Variété,topologie dif,indice de points singulier is

Messagepar Tonn83 » Lundi 14 Janvier 2013, 06:09

Tout d'abord, la somme porte-t-elle sur un nombre fini de points singuliers ? Pourquoi ?
Comment définit-on l'indice d'un champ de vecteur en un point singulier isolé ? N'y a-t-il pas déjà un lien avec la notion de degré ?
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