[Licence] Valeurs propres et matrice

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[Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar Helena » Jeudi 17 Mars 2011, 20:43

Bonsoir,

j'ai dans mon cours l'exemple suivant mais je ne sais pas comment on est parvenu à la solution. Est-ce que quelqu'un peu me l'expliquer vraiment pas à pas ?
recherche des valeurs et vecteurs propres de

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 3 & 5 & 8 \\ \hline -6 & -10 & -16 \\ \hline 4 & 7 & 11 \\ \hline \end{array}$$



L'équation caractéristique est det(lI - A) = l(l - 1)(l - 3) = 0. Les valeurs propres sont donc 0, 1, 3.


Merci!
Helena
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Re: Licence - Valeurs propres et Matrice

Messagepar girdav » Jeudi 17 Mars 2011, 21:11

Bonjour,
on est ramené au calcul du déterminant $\begin{vmatrix}  3-X&5&8\\ -6&-10-X&-16\\ 4&7&11-X\end{vmatrix}$. On peut commencer par faire la manipulation $C_3\leftarrow C_3-C_2-C_1$ pour mettre $X$ en facteur.
girdav
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Re: [Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar fp » Samedi 19 Mars 2011, 09:54

Helena a écrit:Bonsoir,

j'ai dans mon cours l'exemple suivant mais je ne sais pas comment on est parvenu à la solution. Est-ce que quelqu'un peu me l'expliquer vraiment pas à pas ?
recherche des valeurs et vecteurs propres de

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline 3 & 5 & 8 \\ \hline -6 & -10 & -16 \\ \hline 4 & 7 & 11 \\ \hline \end{array}$$



L'équation caractéristique est det(lI - A) = l(l - 1)(l - 3) = 0. Les valeurs propres sont donc 0, 1, 3.

Merci!


Quand on calcule $\mathrm{det}(\lambda I-A)$, on trouve :

$$\setlength{\arraycolsep}{2pt}\begin{array}{rcl} \mathrm{det}(\lambda I-A)&=&(\lambda-3)\begin{vmatrix}\lambda+10&16\\-7&\lambda-11\end{vmatrix} -6\begin{vmatrix}-5&-8\\-7&\lambda-11\end{vmatrix} +(-4)\begin{vmatrix}-5&-8\\\lambda+10&16\end{vmatrix}\\[15pt] &=&(\lambda-3)\left[(\lambda+10)(\lambda-11)-16(-7)\right]-6\left[-5(\lambda-11)-(-8)(-7)\right] -4\left[(-5)16-(-8)(\lambda+10)\right]\\[5pt] &=&(\lambda-3)(\lambda^2-\lambda+2)-6(-5\lambda-1)-4(8\lambda)\\[5pt] &=&\lambda^3-4\lambda^2+5\lambda-6+30\lambda+6-32\lambda\\[5pt] &=&\lambda^3-4\lambda^2+3\lambda\\[5pt] &=&\lambda(\lambda^2-4\lambda+3)\\[5pt] &=&\lambda(\lambda-1)(\lambda-3) \end{array}$$



Les valeurs propres sont donc $0$, $1$ et $3$.

Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre $0$ : on cherche donc $\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ tel que :

$$\begin{pmatrix} 3&5&8\\ -6&-10&-16\\ 4&7&11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$


On obtient :

$$\left\{\setlength{\arraycolsep}{2pt} \begin{array}{rcl} 3x+5y+8z&=&0\\ -6x-10y-16z&=&0\\ 4x+7y+11z&=&0 \end{array}\right.$$


La résolution (à faire !) de ce système donne : $\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\x\\-x\end{pmatrix}$ ($x$ réel quelconque).

De la même façon, cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre $1$ : on cherche donc $\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ tel que :

$$\begin{pmatrix} 3&5&8\\ -6&-10&-16\\ 4&7&11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$


On obtient :

$$\left\{\setlength{\arraycolsep}{2pt} \begin{array}{rcl} 2x+5y+8z&=&0\\ -6x-11y-16z&=&0\\ 4x+7y+10z&=&0 \end{array}\right.$$


La résolution (à faire également !) de ce système donne : $\vec{u}=\begin{pmatrix}x\\-2x\\x\end{pmatrix}$ ($x$ réel quelconque).

On fait de la même façon pour trouver les vecteurs propres associés à la valeur propre $3$ et on trouve : $\vec{u}=?$.

FP.
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Re: [Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar kojak » Samedi 19 Mars 2011, 12:15

Bonjour,

fp a écrit:Quand on calcule $\mathrm{det}(\lambda I-A)$, on trouve :

$$ \mathrm{det}(\lambda I-A)&=&(\lambda-3)\begin{vmatrix}\lambda+10&16\\-7&\lambda-11\end{vmatrix} -6\begin{vmatrix}-5&-8\\-7&\lambda-11\end{vmatrix} +(-4)\begin{vmatrix}-5&-8\\\lambda+10&16\end{vmatrix}\\[15pt] $$



:shock:

C'est bien la dernière méthode à appliquer pour le calcul du déterminant : le but est de faire apparaitre des $0$ afin d'avoir au moins un facteur commun dans une ligne ou colonne, car si pas de calculatrice, pour trouver les racines du polynôme de degré 3, ça ne va pas être simple si il n'y en a pas d'évidentes. Ici, coup de bol, $0$ est racine..

De plus, donner la méthode complète n'est pas dans les us et coutumes du forum.
pas d'aide par MP
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Re: [Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar Helena » Samedi 19 Mars 2011, 17:36

Bonjour,

merci à tous. Je vais pouvoir avancer comme ca!

Vraiment sympa. Tout est plus clair!

A+
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Re: [Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar Helena » Samedi 19 Mars 2011, 18:50

kojak a écrit:Bonjour,

fp a écrit:Quand on calcule $\mathrm{det}(\lambda I-A)$, on trouve :

$$ \mathrm{det}(\lambda I-A)&=&(\lambda-3)\begin{vmatrix}\lambda+10&16\\-7&\lambda-11\end{vmatrix} -6\begin{vmatrix}-5&-8\\-7&\lambda-11\end{vmatrix} +(-4)\begin{vmatrix}-5&-8\\\lambda+10&16\end{vmatrix}\\[15pt] $$



:shock:

C'est bien la dernière méthode à appliquer pour le calcul du déterminant : le but est de faire apparaitre des $0$ afin d'avoir au moins un facteur commun dans une ligne ou colonne, car si pas de calculatrice, pour trouver les racines du polynôme de degré 3, ça ne va pas être simple si il n'y en a pas d'évidentes. Ici, coup de bol, $0$ est racine..

De plus, donner la méthode complète n'est pas dans les us et coutumes du forum.


Bonjour,

juste pour vous rassurer. C'est vraiment un exemple de mon cours et comme il n'y a pas plus d'explication, si je me trouve avec un exo à faire dans ce sens, je serai incapable de le résoudre. Il faut faire parfois confiance :-). Je ne veux pas abuser mais juste comprendre un raisonnement.
Je comprends que le but n'est pas de donner les réponses mais là la réponse je l'avait en l'occurence.

Merci encore,
Héléna
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Re: [Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar kojak » Dimanche 20 Mars 2011, 10:49

Bonjour,

Helena a écrit:juste pour vous rassurer. C'est vraiment un exemple de mon cours et comme il n'y a pas plus d'explication, si je me trouve avec un exo à faire dans ce sens, je serai incapable de le résoudre.


Tu as bien du apprendre comment calculer un déterminant, soit en cours, soit en TD, non ?

Tu es en quelle année de licence ?
pas d'aide par MP
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Re: [Licence] Valeurs propres et matrice

Messagepar Helena » Dimanche 20 Mars 2011, 14:58

Bonjour,

je suis déjà dans la vie active et je viens de reprendre mes études en L3. Il est évident que j'ai oublié ou appris d'autres trucs... Je fais cela en plus par correspondance donc c'est moins évident pour moi que pour les étudiants en présentiel.

Voilà, vous savez tout.

Bonne journée
Helena
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