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Unicité d'un sous-groupe

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Unicité d'un sous-groupe

Messagepar ArthuroG » Vendredi 24 Avril 2020, 09:30

Bonjour,

je travaille sur l'exercice suivant : il s'agit de montrer que si un groupe $G$ est cyclique d'ordre $n$ et que $d$ est un diviseur strictement positif de $n$ alors il n'existe qu'un seul sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.

J'arrive à montrer l'existence, mais je fais un blocage sur l'unicité.

Je note $d'$ l'entier tel que $dd'=n$.
Je note $a$ un générateur de $G$.

Pour l'existence :

Je vais montrer que le groupe $H:=<a^{\frac{n}{d}}>=<a^d'>$ est un sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.

Pour cela, je note $card(H)=\delta$ et je prouve que $\delta=d$.

- $a^{\frac{n}{d}}\in H$ et $card(H)=\delta$ donc $(a^{\frac{n}{d}})^\delta=1$, soit $a^{\frac{n\delta}{d}}=1$ et donc $o(a)\mid \frac{n\delta}{d}$. D'où $n\mid \frac{n\delta}{d}$ et donc $d\mid \delta$.
- $a\in G$ et $card(G)=n$ donc $a^n=1$, soit $(a^{\frac{n}{d}})^d=1$ et donc $o(a^{\frac{n}{d}})\mid d$. D'où $card(H)\mid d$ et donc $\delta\mid d$.

Finalement, $\delta=d$.

Il existe donc un sous-groupe, à savoir $H$, qui soit d'ordre $d$.

Reste à prouver l'unicité, je n'y arrive pas.

Je suppose que $J$ est un sous-groupe de $G$ d'ordre $d$. Et je veux prouver que $J=H$.

En fait, prouver que $J\subset H$ suffit puisque ces deux ensembles ont même cardinal.

Je ne sais pas le faire.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci !
ArthuroG
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Re: Unicité d'un sous-groupe

Messagepar guiguiche » Samedi 25 Avril 2020, 20:36

Comme je ne manipule plus les groupes depuis fort longtemps, je ne trouve pas la motivation pour lire en profondeur ton déroulé.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
guiguiche
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Re: Unicité d'un sous-groupe

Messagepar ArthuroG » Dimanche 26 Avril 2020, 21:18

Bonsoir,

merci d'avoir pris le temps de répondre =)

Peut-être que quelqu'un d'autre m'aidera ?
ArthuroG
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Re: Unicité d'un sous-groupe

Messagepar balf » Lundi 27 Avril 2020, 00:46

Bonsoir,

L'unicité a juste besoin d'être prise par le bon bout. Voici quelques indications:

Si $J$ est d'ordre $d$ (où, avec vos notations, $n=dd'$), le plus petit entier $k$ tel que $a^k\in  J$ est $d'$, puisque la classe de $a$ modulo $J$ engendre $G/J$, lequel est d'ordre $\dfrac nd=d'$ en vertu de la formule

$$|G|=[G:J]|J|.$$


Ceci suffit à montrer à montre que $J=H$.

Une remarque pour finir: une formule souvent utile est celle qui donne l'ordre d'une puissance $a^k$ en fonction de l'ordre de l'element $a$, qu'il soit générateur ou non:

$$\mathrm o(a^k)=\frac{\mathrm o(a)}{\mathrm{pgcd}(\mathrm o(a),k)}$$

balf
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