[Résolu] Une limite à calculer

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

Modérateur: gdm_aidesco

Règles du forum
Merci d'éviter le style SMS dans vos messages et de penser à utiliser la fonction Recherche avant de poster un message. Pour joindre des fichiers à vos messages, consulter ce sujet.
> Penser à utiliser le mode LaTeX (voir ici) afin de rendre vos formules plus lisibles.
> Ne poster qu'un exercice (ou problème) par sujet et indiquer son niveau précis dans le titre du message.

[Résolu] Une limite à calculer

Messagepar evariste_G » Samedi 03 Février 2018, 16:23

Bonjour.

J'aimerais calculer la limite de $(2n)!\left(\displaystyle\sum_{k=2}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!}\text{e} -1\right)$. Je n'ai pas vraiment d'idée... J'ai bien tenté de passer par le DL de $\text{e}^{-1}$, mais ça me donne une FI du type $\infty\times0$. J'ai aussi regardé du côté de la formule de Stirling, mais en vain.
Comment trouver un équivalent à l'infini de cette expression ? Ou une façon quelconque de déterminer la limite ?
Dernière édition par evariste_G le Dimanche 04 Février 2018, 06:07, édité 1 fois.
evariste_G
Téra-utilisateur
 
Messages: 1407
Inscription: Vendredi 19 Décembre 2008, 19:13
Localisation: Bordeaux
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Publicité

Re: Une llimite à calculer

Messagepar kojak » Samedi 03 Février 2018, 17:55

Bonjour.

Déjà pour cette somme tu peux commencer à 0 : $\displaystyle\sum_{k=2}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!} = \sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!} $

Ensuite $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=\text{e}^{-1}$

Donc $\ds\sum_{k=0}^{2n}\frac{(-1)^{k}}{k!}+\sum_{k=2n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=\text{e}^{-1}$ et $\ds\sum_{k=2n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{k!}=r_{2n+1}$ reste d'ordre $2n+1$ et pour une série alternée on a $|r_n[\leq |u_{n+1}|$

Ensuite, si je ne me suis pas trompé dans mon calcul, on a ton expression inférieure ou égale en valeur absolue à $\ds\frac{\text{e}}{(2n+1)(2n+2)}$ d'où la limite nulle.
pas d'aide par MP
kojak
Modérateur
 
Messages: 10389
Inscription: Samedi 18 Novembre 2006, 19:50
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant

Re: Une limite à calculer

Messagepar evariste_G » Dimanche 04 Février 2018, 06:07

Merci ! C'était ma première idée, mais il me manquait ce théorème de majoration. C'est frustrant... :)
evariste_G
Téra-utilisateur
 
Messages: 1407
Inscription: Vendredi 19 Décembre 2008, 19:13
Localisation: Bordeaux
Statut actuel: Actif et salarié | Enseignant


Retourner vers Exercices et problèmes : Supérieur

 


  • Articles en relation
    Réponses
    Vus
    Dernier message

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum: Aucun utilisateur enregistré et 8 invités