Un peu d'algèbre

Aide à la résolution d'exercices ou de problèmes de niveau Supérieur.

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Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Jeudi 23 Avril 2009, 20:26

Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour les questions qui vont suivre.
C'est du niveau license.

Alors tout d'abord :
1) Montrer que $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ sont les deux seuls groupes à 4 éléments.
Déjà la question me paraît bizarre. Je suppose qu'il s'agit de montrer que la propriété est vrai à un isomorphisme près...
Ensuite, je ne vois pas trop comment précéder... Il me semble que $\Z/4\Z$ est un $p$-groupe, je ne vois pas trop comment tirer partit ca (je pensais faire apparaitre des sous groupes ?).
Je n'arrive pas non plus à tirer de la cyclicité de $\Z/4\Z$
Au final je ne trouve rien d'intéressant...

2) Décrire tous les groupes commutatifs de cardinal $12$.
Idem, à part faire apparaitre des sous-groupes en connaissant leur cardinal, je ne sais pas trop quoi faire...
Je n'arrive pas non plus à tirer partit de la cyclicité du groupe... Ca resemble un peu à l'exo précédent mais pareil je ne vois pas...


Ce sont les questions qui actuellement me pose problème...

Merci à vous
themoskito
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Re: un peu d'algèbre

Messagepar MC » Jeudi 23 Avril 2009, 21:27

Bonsoir,

Que connais-tu sur les groupes? Le théorème de structure des groupes abéliens finis? Si tu connais ce résultat, il suffit de l'appliquer. Sinon, il faut un peu se retrousser les manches.

Pour la question 1, une piste pour commencer: si $G$ est un groupe à 4 éléments qui n'est pas isomorphe à $\Z/4\Z$, quel peut-être l'ordre de ses éléments?

Cordialement.
MC
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar Tonn83 » Jeudi 23 Avril 2009, 23:05

Bonjour,

Que peux-tu dire d'un groupe $G$ dont tous les éléments sont d'ordre $2$ ?

Pour la question 2, connais-tu le quotient des groupes ? Si G est un groupe commutatif, que peux-tu dire d'un sous-groupe H ?

:)
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Lundi 27 Avril 2009, 22:20

MC a écrit:Que connais-tu sur les groupes? Le théorème de structure des groupes abéliens finis? Si tu connais ce résultat, il suffit de l'appliquer


J'ai des notions sur les $A$-modules. Je viens de découvrir sur wikipedia le lien étroit entre ces modules et les groupes commutatifs finis. Le théorème que tu évoques, est-ce que c'est le théorème de Kronecker ? Il n'est pas dans mon cours celui-là... Et d'ailleurs il ne me semble pas applicable directement à mon cas, donc finalement ce n'est peut-être pas ce dont tu parlais.


Tonn83 a écrit:Que peux-tu dire d'un groupe G dont tous les éléments sont d'ordre 2 ?
Pour la question 2, connais-tu le quotient des groupes ? Si G est un groupe commutatif, que peux-tu dire d'un sous-groupe H ?


Oui je connais le quotient des groupes. Un sous-groupe $H$ d'un groupe commutatif est normal ? A partir de là on peut contruire des produits de groupes quotients. C'est l'idée ?


Je précise que j'ai un manque de recul complet sur le cours, dû au fait que j'ai peu de temps pour assimiler, et d'autant plus que le cours que j'ai en ma possession est très lacunaire à mon sens, et il se peut que beaucoup des notions évoquées soient mal assimilées :(
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Vendredi 01 Mai 2009, 14:36

Bonjour,

Après réflexion, j'ai du mal à saisir le sens de la question qui m'est posée dans
themoskito a écrit:Montrer que \Z/4\Z et (\Z/2\Z)^2 sont les deux seuls groupes à 4 éléments.


initialement, je me disais que c'étaient les seuls, à un isomorphisme près. Oui mais.... il existe bien un isomorphisme entre $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ ? Donc pourquoi différencier $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$.

Quelle serait votre interprétation de la question ?

merci (je nage un peu :? )
themoskito
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar MC » Vendredi 01 Mai 2009, 14:56

Bonjour themoskito,

Concernant ta question la plus récente : non, $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ ne sont pas isomorphes. Chacun a quatre éléments. mais que peux-tu dire de l'ordre de ces éléments dans le premier groupe, et dans le second?

A propos du théorème appelé théorème de Kronecker sur Wikipedia. Ce théorème donne immédiatement la réponse, et plus généralement permet de décrire les classes d'isomorphisme de groupes commutatifs de cardinal donné. Par exemple $72 = 2^3\times 3^2$. Le théorème de Kronecker dit que les classes d'isomorphisme de groupes commutatifs de cardinal 72 correspondent exactement aux suites finies d'entiers $a_1,\ldots,a_k$ strictement plus grands que 1 dont le produit vaut 72 et telles que chaque entier à partir du deuxième divise celui qui le précède. Ce qui fait

$$\mathbb{Z}/72\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/36\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/24\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/18\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z},\quad \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$



Puissant, non?

Cordialement.
Dernière édition par MC le Vendredi 01 Mai 2009, 14:58, édité 1 fois.
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar Valvino » Vendredi 01 Mai 2009, 14:57

themoskito a écrit:initialement, je me disais que c'étaient les seuls, à un isomorphisme près. Oui mais.... il existe bien un isomorphisme entre $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ ? Donc pourquoi différencier $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$.


Ben non $\Z/4\Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ ne sont pas isomorphes... Par exemple, $\Z/4\Z$ est cyclique, mais $(\Z/2\Z)^2$ ne l'est pas (on peut le vérifier à la main).
Dernière édition par Valvino le Samedi 02 Mai 2009, 15:10, édité 1 fois.
Valvino
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Samedi 02 Mai 2009, 09:33

D'accord, il semble que j'ai fait un confusion...
En fait je n'ai pas dans mon cours le théorème de Kronecker, qui me semble effectivement super pratique ^^
Donc j'ai essayé de me débrouiller autrement, avec un théorème sur les $A$-modules, ce qui m'oblige à considérer les groupes considérés comme des $A$-modules.

Je vous cite mon théorème :
Soient $A$ un anneau principal et $M$ un $A$-module de longueur finie. Il existe une suite croissante d'idéaux propres $a_1A \subset ... \subset a_kA$ tels que $M \simeq A/a_1A x...xA/a_kA $
De plus la suite d'idéaux est uniquement déterminée par $M$


Il s'agit bien d'un isomorphisme n'est-ce pas ?
Une fois ce théorème énoncé, il faut donc revenir à la structure de groupe, et vérifier que les groupes cités ne sont pas isomorphes ?

Et d'ailleurs à ce sujet, je ne vois pas en quoi la suite d'idéaux est "uniquement déterminée" vu que l'on peut trouver plusieurs suite d'idéaux, comme dans l'exemple de MC...


merci.
themoskito
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar NP » Samedi 02 Mai 2009, 09:50

Le théorème que tu cites ne te sera pas d'une grande utilité ici, il faut que tu reviennes à des choses plus élémentaires sur les groupes ; en particulier, tu peux commencer par répondre aux suggestions de MC et Tonn83 dans leurs premières réponses. :wink:
NP
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Samedi 02 Mai 2009, 10:51

Excuse moi, mais je ne vois pas trop pourquoi on en pourrait pas appliquer ce théorème ici, puisque au final on retrouve les mêmes résultats qu'avec Kronecker, non ?
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar NP » Samedi 02 Mai 2009, 12:26

Je ne dis pas qu'on ne peut pas l'appliquer, seulement qu'il n'est pas nécessaire...
Peux-tu nous expliquer précisément comment tu l'utiliserais pour répondre à la première question de ton exercice ?
NP
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Samedi 02 Mai 2009, 13:26

mmmh, il est vrai que j'ai du mal à faire le lien entre le $Z$-module et le groupe commutatif...
J'ai pensé utiliser ce théorème en premier lieu parcequ'il semble facile de se ramener aux résultats donnés par le théorème de Kronecker. Et il me faut manifestement un théorème "général" sur la théorie des groupes commutatifs car j'ai après ces questions-ci, d'autres questions du meme style sur des groupes de cardinal beaucoup plus important (108 par exemple^^).

Si j'applique le théorème dans le premier cas, j'obtiendrai le résultat : $\Z/4\Z \simeq \Z/2\Z x \Z/2\Z$ en terme de module donc. A partir de là, comment remonter à la commutativité des groupes ?
Je sais bien que $\Z/2\Z x \Z/2\Z$ est commutatif, mais pourquoi serait-ce le seul avec $\Z/4\Z$ ?
Donc oui, j'ai effectivement un problème avec ce théorème, mais je ne vois pas trop comment m'en sortir...
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar NP » Samedi 02 Mai 2009, 13:47

themoskito a écrit:Si j'applique le théorème dans le premier cas, j'obtiendrai le résultat : $\Z/4\Z \simeq \Z/2\Z x \Z/2\Z$ en terme de module donc.


Relis ce qui est écrit plus haut : ces deux groupes ne sont pas isomorphes.
Tu devrais donc mettre de côté ton théorème pour l'instant et repartir du début.
Soit $G$ un groupe d'ordre 4.
Soit $a \in G$, $a \neq e$ (où $e$ est l'élément neutre de $G$).
Que peut valoir l'ordre de $a$ ?
NP
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Samedi 02 Mai 2009, 14:28

c'est bien pour ca que je ne comprends pas! Est-ce que j'applique mal le théorème ? Car les hypothèses vérifiées me semblent pourtant les bonnes...

Si $a\in G$ alors l'ordre de $a$ peut valoir la valeur d'un diviseur de l'ordre de $G$ ie 2, ou 4.
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar NP » Samedi 02 Mai 2009, 16:10

Ok.
Si $a$ a pour ordre 4, alors que peux-tu dire du groupe engendré par $a$ ?
NP
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Samedi 02 Mai 2009, 20:49

Si $a$ est d'ordre $4$ alors le sous - groupe engendré par $a$ est d'ordre $4$. Comme $G$ est lui - meme d'ordre $4$ on en déduit que $G$ est lui-même le groupe engendré par $a$.

Sinon, si l'ordre de $a$ est $2$ alors le sous-groupe engendré par $a$ est d'ordre $2$...
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar NP » Samedi 02 Mai 2009, 20:55

Ok. Dans le premier cas, on dit que le groupe est cyclique : il est isomorphe à $\Z/4\Z$ (par quel isomorphisme ?).
Dans le deuxième cas, $a$ est d'ordre 2, donc tu connais, pour l'instant, combien d'éléments de $G$ ? $G$ est d'ordre 4, donc combien t'en manque-t-il ? :wink:
NP
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Samedi 02 Mai 2009, 22:10

dans le premier cas , l'isomrphisme est :
$ \phi : \Z/4\Z \rightarrow G $
$\bar{n} \rightarrow a^n $

Dans le second cas, on connait 2 éléments de $G$ donc il en manque $2$... Il doit exister une sous-groupes de $G$ contenant ces $2$ autres éléments, donc il devrait y avoir un autre sous-groupe d'ordre $2$ qui seraient constitués des $2$ éléments en question. Ca devrait se montrer avec le théorème de Sylow peut-être vu qu'on a un $p$-groupe...
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar NP » Dimanche 03 Mai 2009, 09:02

Plus simplement, comme $G$ a 4 éléments et que tu en connais 2, il existe un élément $b$ de $G$ distinct de $a$ et $e$.
Quel l'ordre de $b$ ?...
NP
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Re: Un peu d'algèbre

Messagepar themoskito » Dimanche 03 Mai 2009, 09:37

ah oui...
$b$ est d'ordre $2$. donc au final on a $2$ sous-groupes $F$ et $F'$ engendrés respectivement par $a$ et $b$.
$F$ et $F'$ sont chacun isomorphes à $\Z/2\Z$, donc on peut de la meme facon que précédement créer un isomorphe de G vers $(\Z/2\Z)^2$.

Et donc c'est fini...

[Edit: mmmh, non en fait ca pose problème que $b$ soit d'ordre 2, car on a $2b=e$ (notation additive), donc on n'a déterminé que 3 éléments : $e$, $a$, $b$...]
themoskito
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