[MPSI] Un petit problème sur intégration, fonctions

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[MPSI] Un petit problème sur intégration, fonctions

Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 09:47

Bonjour,
Je bloque sur certaines questions dans ce petit problème sur les fonctions. Donc si vous pouviez m'aider à me débloquer ce serait formidable :D :D . Merci d'avance.

1. Les outils...
(a) Calculs préliminaires.
i. Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt$.
ii. Calculer, pour tout $k \in \N^*$, $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$.

(b) Lemmme-clé. Soit $\phi$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$. En procédant à une intégration par parties, puis à des encadrements d'intégrales, montrer que la quantité $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

2. La fonction-clé. Soit

$$\begin{array}{rcl}
 \phi : [0;\pi] &\longrightarrow &\R \\
 t &\longmapsto &
 \left\{ \begin{array}{ll}
  \dfrac{\frac{t^2}{2\pi} - t}{2\sin{\frac{t}{2}}} & \textrm{si } t \in ]0;\pi] \\
  -1 & \textrm{si } t = 0
  \end{array} \right.
  \end{array}$$



(a) Montrer que $\phi$ est de classe $C^1$ sur $]0;\pi]$, et préciser $\phi'(t), t \in ]0;\pi]$, sous forme de quotient.
(b) Etablir qu'au voisinage de $0$ pour $t$ : $\phi'(t) \sim \dfrac{1}{2\pi}$.
(c) En déduire que $\phi$ est de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$.
Dernière édition par pouik le Samedi 20 Janvier 2007, 09:53, édité 2 fois.
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 09:50

Pour la première question, je propose la réponse suivante :

$\longrightarrow$ Calculons $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt$ :

On a :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt = \left[\dfrac{1}{3} \dfrac{t^3}{2\pi} - \dfrac{1}{2} t^2\right]_0^{\pi}$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt = \left(\dfrac{\pi^3}{6\pi} - \dfrac{\pi^2}{2}\right) - \left(\dfrac{0^3}{6\pi} - \dfrac{0^2}{2}\right)$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt = \left(\dfrac{\pi^2}{6} - \dfrac{\pi^2}{2}\right) - \left(0 - 0\right)$$


c'est-à-dire après réduction au même dénominateur :

$$\boxed{\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right) dt = -\dfrac{\pi^2}{3}}$$



Est-ce correct ?? :crazyeyes: :pullhair:
Dernière édition par pouik le Samedi 20 Janvier 2007, 10:00, édité 1 fois.
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Messagepar Tryphon » Samedi 20 Janvier 2007, 09:54

Erreur de signe sur la réduction au même dénominateur, non ?
Pas de questions en MP
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 10:01

oui effectivement je viens de faire un petit edit.
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 10:05

Pour la deuxième question, je propose :

$\longrightarrow$ Calculons par deux intégrations par parties "successives" $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$ :

$\#$ Calculons tout d'abord $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt$ par intégration par parties "simple".

Posons pour tout $t \in \llbracket 0;\pi \rrbracket$ :
$u'(t) = \cos{kt}$ $u(t) = \dfrac{\sin{kt}}{k}$
$v(t) = \dfrac{t^2}{2\pi} - t$ $v'(t) = \dfrac{t}{\pi} - 1$

d'où :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = \left[\dfrac{\sin{kt}}{k} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)t\dfrac{sin{kt}}{k} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = \left(\left(\dfrac{\sin{k\pi}}{k} \left(\dfrac{\pi^2}{2\pi} - \pi\right) - (\left(\dfrac{\sin{k 0}}{k} \left(\dfrac{0^2}{2\pi} - 0\right)\right) - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = \left(\left(0 \left(\dfrac{\pi^2}{2\pi} - \pi\right) - (\left(0 \left(\dfrac{0^2}{2\pi} - 0\right)\right) - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = \left(0\right) - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt$$



$\#\#$ Calculons à présent $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt$ par intégration par parties.

Posons pour tout $t \in \llbracket 0;\pi \rrbracket$ :
$u'(t) = \dfrac{sin{kt}}{k}$ $u(t) = -\dfrac{\cos{kt}}{k^2}$
$v(t) = \dfrac{t}{\pi} - 1$ $v'(t) = \dfrac{1}{\pi}$

d'où :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt = \left[-\dfrac{\cos{kt}}{k^2} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{1}{\pi}\right)-\dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt = \left(\left(-\dfrac{\cos{k\pi}}{k^2} \left(\dfrac{\pi}{\pi} - 1\right)\right) - (\left(-\dfrac{\cos{k0}}{k^2} \left(\dfrac{0}{\pi} - 1\right)\right)\right) + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{1}{\pi}\right)\dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt = \left(\left(-\dfrac{\cos{k\pi}}{k^2} \left(0\right)\right) - (\left(-\dfrac{1}{k^2} \left(-1\right)\right)\right) + \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{1}{\pi}\right)\dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t}{\pi} - 1\right)\dfrac{sin{kt}}{k} dt = -\dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt$$



Enfin, pour $t \in \llbracket 0;\pi \rrbracket$, on a :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt = \left[\dfrac{\sin{kx}}{k^3}\right]_0^{\pi}$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt = \dfrac{\sin{k\pi}}{k^3} - \dfrac{\sin{k0}}{k^3}$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt = 0 - 0$$


c'est-à-dire :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{\cos{kt}}{k^2} dt = 0$$



D'où finalement par "recollement", on a :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = -\dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{\pi} 0$$


c'est-à-dire :

$$\boxed{\displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(\dfrac{t^2}{2\pi} - t\right)\cos{kt} dt = -\dfrac{1}{k^2}}$$



Là je ne suis pas sûr de moi car je ne trouve pas le même résultat à la calculatrice !! :bye2: :bye2:

PS : Est-il possible de mettre les $u(t)$ et $u'(t)$ sur une même lignes (au milieu avec en dessous la même chose avec $v(t)$ et $v'(t)$ et tout ca avec les signes égals des deux lignes alignés ??? (et si oui comment faire ??)
pouik
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Messagepar guiguiche » Samedi 20 Janvier 2007, 10:14

De mémoire (je n'ai pas relu tes calculs), je crois qu'il faut obtenir l'opposé.
Pas d'aide par MP : les questions sont publiques, les réponses aussi.
Tu as apprécié l'aide qui t'a été fournie ? Alors n'hésite pas à rendre la pareille à quelqu'un d'autre.
Un peu d'autopromotion.
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 10:38

Ah oui c'est dans le recollement qu'il y a une erreur, j'avais oublié un signe $-$ (sinon il n'y a pas de fautes de calculs ??)

et pour ce qui est de
pouik a écrit:PS : Est-il possible de mettre les $u(t)$ et $u'(t)$ sur une même lignes (au milieu avec en dessous la même chose avec $v(t)$ et $v'(t)$ et tout ca avec les signes égals des deux lignes alignés ??? (et si oui comment faire ??)
???

Merci d'avance pour vos réponses.
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 11:47

Sinon pour la (b) pourriez-vous m'aider un peu car je n'y arrive vraiment pas.
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Messagepar Arnaud » Samedi 20 Janvier 2007, 11:53

Tu as fait l'intégration par parties dont il est question ?
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Messagepar tigris » Samedi 20 Janvier 2007, 12:09

:)
C'est un cas particulier du lemme de Riemann-Lebesgue.
Une indication : $\phi '$ est bornée sur $[0,\pi]$.
Tu majores alors la deuxième intégrale.
:)
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 12:29

Je ne vois pas de quelle fonction partir (celle à intégrer par partie pour obtenir) :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$$



Je me doute qu'il y aura du $\phi'$ mais c'est tout ce que je vois.
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Messagepar Tryphon » Samedi 20 Janvier 2007, 12:31

Ben si tu veux obtenir $\phi'$, faut dériver $\phi$ et intégrer le sinus, ce qui va faire appraître des trucs intéressants qui tendent vers $0$.

[J'ai modifié mon post pour qu'il soit moins explicite :)]
Dernière édition par Tryphon le Samedi 20 Janvier 2007, 12:38, édité 2 fois.
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Messagepar Arnaud » Samedi 20 Janvier 2007, 12:37

Dommage, Tryphon m'a devancé, ça aurait été bon que tu trouves par toi-même :D
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 12:41

mais ce que je ne comprends pas bien c'est :
- faut-il partir de la quantité $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ et l'intégrer par parties ?
- ou faut-il partir de quelque-chose d'autre pour obtenir quelque-chose + $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ ?
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Messagepar Tryphon » Samedi 20 Janvier 2007, 12:44

As-tu au moins essayél'une des deux ?
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Messagepar Arnaud » Samedi 20 Janvier 2007, 12:55

pouik a écrit:mais ce que je ne comprends pas bien c'est :
- faut-il partir de la quantité $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ et l'intégrer par parties ?
- ou faut-il partir de quelque-chose d'autre pour obtenir quelque-chose + $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin{\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ ?


Il n'y a rien à comprendre : il faut te lancer dans les calculs et essayer.
Si tu te plantes, tu essayes l'autre méthode, c'est comme ça qu'on apprend à reconnaitre les bonnes solutions des mauvaises.
Une fois que tu auras fait le calcul, et si tu es coincé pour continuer, dans ce cas demande, mais essaye.

C'est le meilleur conseil que je puisse te donner.
Arnaud

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Messagepar tigris » Samedi 20 Janvier 2007, 12:56

-faut-il partir de

- ou faut-il partir de


L'important c'est de partir...
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Messagepar pouik » Samedi 20 Janvier 2007, 13:06

non mais je vais essayé la première.

Calculons $\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt$ par intégration par parties "simple".

Posons pour tout $t \in [ 0;\pi ]$ :

$$\begin{array}{rll}
     u'(t)&= \sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) &\mbox{ donc } \quad u(t) = -\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\\
     v(t)&= \phi(t)   &\mbox{ donc }    \quad v'(t) = \phi'(t)
     \end{array} $$



d'où :

$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right) dt = \left[\phi(t) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right)\right]_0^{\pi} - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right) dt$$


c'est-à-dire :


$$\displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi(t)\sin\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t dt = \phi(\pi) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\right) - \phi(0) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)0\right)  - \displaystyle\int_{0}^{\pi} \phi'(t) \left(-\dfrac{1}{n+\dfrac{1}{2}} \cos\left(\left(n+\dfrac{1}{2}\right)t\right)\right) dt$$



Correct ??

Ps : Savez-vous comment faire :
Est-il possible de mettre les u(t) et u'(t) sur une même lignes (au milieu avec en dessous la même chose avec v(t) et v'(t) et tout ca avec les signes égals des deux lignes alignés ??? (et si oui comment faire ??)


[Edit] Je desespère je trouve pas la faute de frappe dans la dernière ligne !!
[EDIT Kojak : j'avais corrigé..Elle était avant...tu mets trop de parenthèses inutiles et il manquait une balise...]
Dernière édition par pouik le Samedi 20 Janvier 2007, 13:54, édité 5 fois.
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Messagepar kojak » Samedi 20 Janvier 2007, 13:27

bonjour Pouik
Pour ta citation :

$$\begin{array}{rll}
 	 u(x)&=x+2 &\mbox{ alors } \quad u'(x)=1\\
 	 v'(x)&=\text{e}^{-x}	&\mbox{ alors } 	\quad v(x)=-\text{e}^{-x}
 	 \end{array}$$


Code: Tout sélectionner
\begin{array}{rll}
    u(x)&=x+2 &\mbox{ alors } \quad u'(x)=1\\
    v'(x)&=\text{e}^{-x}   &\mbox{ alors }    \quad v(x)=-\text{e}^{-x}
    \end{array}


PS : tu n'as qu'à changer l'expression des fonctions :D
pas d'aide par MP
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Messagepar Tryphon » Samedi 20 Janvier 2007, 13:32

Y'a encore pas mal de simplifications à faire, notamment surles cosinus. Sors aussi les constantes de tes intégrales : on n'écrit pas $\int \frac1n f$ mais $\frac 1n\int f$
Pas de questions en MP
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